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Nullraum und Spaltenraum

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: fundamentalräume, Lineare Gleichungssysteme, Matrix, Matrizenrechnung, Nullraum, spaltenraum

Teddypian aktiv_icon

15:28 Uhr, 29.01.2017

Komme bei der Definitionen von der Basis eines Nullraums bzw. Spaltenraums etwas durcheinander.

Also um den Nullraum zu bestimmen muss ich einfach das LGS A*vex(x)=0 auflösen.
Das heißt mit dem Gauß Algorithmus die Zeilenstufenform erzeugen. Da A_erw ein unterbestimmtes LGS ist muss ich freie Variablen bestimmen. Die Basis vom Nullraum sind dann die Vektoren die lin. unabhängig sind. Also hier:

{(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

Und jetzt zu Spaltenraum. Der Spaltenraum ist der von den Spaltenvektoren von A aufgespannte ebene.

D . h

(\begin{matrix} 1 x_{1} & 2 x_{2} & - 1 x_{3} & - 2 x_{4} & - 3 x_{5} \\ 0 & 0 & 1 x_{3} & 2 x_{4} & 2 x_{5} \end{matrix})

Also müsste die Basis diese Spaltenvektoren folgendes sein:

{x_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), x_{2} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}), x_{3} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}), x_{4} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}), x_{5} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix})}

{x_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), x_{3} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

ist meine Basis für den Spaltenraum da

x_{2}, x_{4}, x_{5}

Linearkombinationen aus

x_{1}

und

x_{3}

sind.

Die anderen zwei Fundamentalräume werden analog zu den ersten zwei gerechnet nur mit dem transponierten Matrix:

Basis vom Zeilenraum=

Z (A) = S (A^{T}) =

{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})}

Basis vom linken Nullraum=N(A^T)=

{(\begin{matrix} - \frac{20}{9} \\ 0 \\ - \frac{8}{9} \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}

Stimmt das alles so??

1. Bild: Aufgabenstellung
2. Bild: Meine Rechnungen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

DrBoogie aktiv_icon

16:03 Uhr, 29.01.2017

"Der Spaltenraum ist der von den Spaltenvektoren von A aufgespannte ebene."

Wieso plötzlich Ebene? Es ist ein allgemeiner Unterraum.
Was Du weiter machst, ist mir nicht klar.
Der Spaltenraum ist aufgespannt durch die Spalten von

A

, also durch Vektoren

(1, 2, 2, 4)

usw.

Nebenbei, Dein Nullraum ist nicht richtig, z.B. liegt

(- 2, 0, - 2, 1, 0)

nicht im Nullraum.

Teddypian aktiv_icon

17:25 Uhr, 29.01.2017

Wie ermittle ich dann die Basis für den Spaltenraum.

Ja stimmt der Vektor kann nicht im Nullraum liegen aber ich habe jetzt nochmal meine Rechnung überprüft aber finde keinen Fehler.
Ich habe eig. alles richtig gemacht.. ich habe die Element die nicht Pivot-Elemente sind und nicht über einem Pivot-Element liegen gelassen und alle andere als frei wählbare Variable gewählt. Wo könnte der Fehler liegen?

DrBoogie aktiv_icon

19:51 Uhr, 29.01.2017

"Wie ermittle ich dann die Basis für den Spaltenraum."

Z.B. Spalten als Zeilen einer Matrix aufschreiben (also transponieren) und die Matrix auf die Treppenform bringen. Die Zeilen, die nicht komplett null sind, stellen eine Basis dar.

"Ich habe eig. alles richtig gemacht.. ich habe die Element die nicht Pivot-Elemente sind und nicht über einem Pivot-Element liegen gelassen und alle andere als frei wählbare Variable gewählt. Wo könnte der Fehler liegen?"

Woher soll ich das wissen ohne Deine Berechnung zu sehen?

Teddypian aktiv_icon

12:06 Uhr, 30.01.2017

Da hast auch recht :-D)

Passt! Danke dir Dr. Boogie woogie

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