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Nullstelle, Regula Falsi

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Tags: Approximation, Nullstell, Regula Falsi

Eleonora71 aktiv_icon

14:01 Uhr, 15.06.2017

Hey,

ich beschäftige mich mit einer Aufgabe:

Gesucht ist die Lösung der Gleichung

x^{2} - x = e^{x}

a)

Zeigen Sie, dass die gesuchte Nullstelle im Intervall

[- 1.0; 1.0]

liegt.

b)

Berechnen Sie ausgehend vom Intervall

[- 1.0; 1.0]

mithilfe der Regula Falsi die Approximationen

p_{i}

für

i = 1,2

.

In der Vorlesung und im Skript haben wir keine Regula Falsi besprochen, in der vorletzten Klausur kam sie jedoch vor und ich wollte sicherheitshalber die Aufgabe rechnen. Vielleicht wurde das Verfahren herausgenommen, ich weiß es nicht.

Bei der ersten Aufgabe habe ich jedoch schon Probleme, weil ich nicht weiß wie ich das zeigen soll? Ist dort nach einem Verfahren gefragt zur Nullstellenberechnung des Typ's Sekantenverfahren oder Intervallschachtelung, oder muss ich die Gleichung gleich null setzen und nach

x

auflösen?

x^{2} - x = e^{x}

\Rightarrow ln (x^{2} - x) = x,

das kann man ja soweit nur numerisch lösen? Oder was meint ihr dazu?

Bei

b)

habe ich jetzt die Formel aus Wikipedia genommen:

c_{k} = \frac{a_{k - 1} f (b_{k - 1}) - b_{k - 1} f (a_{k - 1})}{f (b_{k - 1}) - f (a_{k - 1})}

Wenn ich jetzt einsetze habe ich:

a_{0} = - 1

und

b_{0} = 1

sowie

f (a_{0}) = 1^{2} - 1 - e = - e

und

f (b_{0}) = {(- 1)}^{2} + 1 - e = - 0,7183

Also für

k = 1

c_{1} = \frac{- 1 \cdot (- 0,7183) - (- 0,7183) \cdot (- e)}{- 0,7183 - (- e)} = - 0,6171

f (c_{1}) = 0,4584

da jetzt mein

f (c_{1})

weder mit

f (b_{1})

noch mit

f (a_{1})

im Vorzeichen übereinstimmen, weiß ich nicht so wirklich weiter.

Über Eure Unterstützung würde ich mich sehr freuen,

Danke dafür schon,

Grüße Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:05 Uhr, 15.06.2017

In a) musst Du nicht die Nullstelle bestimmen, sondern nur beweisen, dass es eine gibt.
Das folgt z.B. aus dem Zwischenwertsatz.
Wenn Du beweisen musst, dass es überhaupt nur eine Nullstelle existiert,
hilft die Betrachtung der Ableitung. Denn

2 x - 1 - e^{x} < 0

für alle

x

, was man über die 2. Ableitung zeigen kann.

DrBoogie aktiv_icon

14:09 Uhr, 15.06.2017

Leider hast Du sowohl

f (a_{0})

als auch

f (b_{0})

falsch berechnet.
Einfach verrechnet, weil schlecht aufgepasst. Z.B. muss einmal

e^{- 1}

stehen, Vorzeichen stimmen nicht usw.
Rechne nach.

Eleonora71 aktiv_icon

14:14 Uhr, 15.06.2017

Hallo,

wow danke für die superschnelle Raketenantwort.

Also an die Ableitung habe ich jetzt gar nicht gedacht.

Wenn ich

f (x) = x^{2} - x - e^{x}

ableite bekomme ich

f' (x) = 2 x - 1 - e^{x}

und

f'' (x) = 2 - e^{x}

Also

f' (x)

ist immer

< 0 \forall x

und wie zeigt man das über die 2.te Ableitung? Mir ist gerade noch nicht bewusst, wieso ich damit zeigen kann, dass dann in dem Intervall die Nullstelle ist?

\circ b)

ja das rechne ich jetzt nochmal nach, danke für den Hinweis :-)

Grüße

Elena

rundblick aktiv_icon

14:26 Uhr, 15.06.2017

f (x) = x^{2} - x - e^{x}

"Wenn ich jetzt einsetze habe ich:

a 0 = - 1

und b0=1"

\to

da hast du schon gleich schöne Fehler gemacht:

es ist

\to f (- 1) = 1 - (- 1) - e^{- 1} =

..?..

rechne das nun richtig aus

\Rightarrow . .

.

Tipp:
beginne mit

\to a_{0} = - 1

und mit

\to b_{0} = 0 \Rightarrow f (0) = - 1

und Ableitungen brauchst du für die regula falsi KEINE

.

DrBoogie aktiv_icon

14:36 Uhr, 15.06.2017

Das im Intervall eine Nullstelle gibt, zeigt man nicht mit der Ableitung, sondern mit dem Zwischenwertsatz, denn dei Funktion

x^{2} - x - e^{x}

ist positiv in

- 1

und negativ in

1

.

Die 2. Ableitung hilft so:

f ʺ (x) = 2 - e^{x}

=> sie ist positiv bis

x = \ln (2)

und negativ danach. Damit steigt

f^{ʹ} (x)

bis

\ln (2)

und fällt danach, hat also ihr Maximum bei

\ln (2)

. Aber

f^{ʹ} (\ln (2)) = 2 \ln (2) - 1 - 2 < 0

und da es Maximum von

f ʹ^{(} x)

ist, folgt:

f^{ʹ} (x) < 0

überall. Damit ist

f (x) = x^{2} - x - e^{x}

monoton fallend und kann damit nur eine Nullstelle haben.

Eleonora71 aktiv_icon

15:33 Uhr, 15.06.2017

Hallo,

also nochmal die Rechnung das war wirklich peinlich:

c_{k} = \frac{a_{k - 1} f (b_{k - 1}) - b_{k - 1} f (a_{k - 1})}{f (b_{k - 1}) - f (a_{k - 1})}

Wenn ich jetzt einsetze habe ich:
sowie

f (a_{0} = - 1) = 1^{2} - 1 - e^{- 1} = 1,6321

und

f (b_{0} = 1) = {(1)}^{2} - 1 - e^{1} = - e

k = 1

c_{1} = \frac{- 1 \cdot (- e) - (1) \cdot (1,6321)}{- e - (1,6321)} = - 0,2497

f (c_{1}) = {(- 0,2497)}^{2} + 0,2497 - e^{- 0,2497} = - 0,4670

also ist jetzt mein

f (c_{1})

weder mit

f (b_{0})

im Vorzeichen übereinstimmend,

\Rightarrow a_{2} = a_{1}

und

b_{2} = c_{2}

? Wie kann ich das denn jetzt verstehen

b_{2} = c_{2}

? Wenn die Gleichheit gilt dann brauche ich das

c_{2}

doch nicht berechnen?

Bei uns ist der Mittelwertsatz so definiert:
Eine Funkton

f

sei stetig und differenzierbar im Intervall

[a, b],

dann existiert ein

c

[a, b]

sodass

f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

gilt.

Hm, also irgendwie kann ich daraus und deiner letzten Argumentation mit der 2.ten Ableitung noch nicht nachvollziehen, wieso dort eine Nullstelle ist. (Also in

[- 1; 1])

Danke für die Antworten,

Grüße Elena

rundblick aktiv_icon

15:58 Uhr, 15.06.2017

.

"Wenn ich jetzt einsetze habe ich:"

\to f (a 0 = - 1) = 1^{2} - 1 - e^{- 1} = + 1,6321

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

. ^ NEIN !

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. ^ JA

!!

und warum nimmst du für

b_{0}

nicht die

\to 0

? (siehe Empfehlung oben)

es ist dann

f (- 1) = + 1,6321 . .

. positiv !

f (0) = - 1 ... ... ... .

. negativ !

und wie du oben beim Herr DrB nachlesen kannst

\to

f (x)

hat nur eine Nullstelle in

[- 1; + 1]

und da

f (- 1) > 0

und

f (0) < 0 \to

muss diese Nullstelle in

[- 1; 0]

liegen ..
usw..

ok?

und nebenbei:
gefragt ist da NICHT der Mittelwertsatz , SONDERN der

\to

Zwischenwertsatz
.

Eleonora71 aktiv_icon

17:30 Uhr, 15.06.2017

Hallo,

den Tipp habe ich erst nach meinem Post gesehen. Aber so wirklich verstehen tue ich ihn nicht, wieso wir das Intervall dann anders wählen, bzw. verkürzen?

c_{k} = \frac{a_{k - 1} f (b_{k - 1}) - b_{k - 1} f (a_{k - 1})}{f (b_{k - 1}) - f (a_{k - 1})}

Nochmal:

a_{0} = - 1

und

b_{0} = 1

sowie

f (a_{0} = - 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1) - e^{- 1} = 1,6321

und

f (b_{0} = 1) = {(1)}^{2} - 1 - e^{1} = - e

Soweit stimmt das jetzt die Vorzeichenfehler habe ich in der Rechnung korrigiert die Endergebnisse müssen jetzt stimmen. Was mit ...^NEIN! und ...^JA!! gemeint ist weiß ich nicht, konkret.

Also für

k = 1

c_{1} = \frac{- 1 \cdot (- e) - (1) \cdot (1,6321)}{(- e) - (- 1,6321)} = - 1

Das stimmt auch jetzt.

f (c_{1} = - 1) = 1,6321 = f (a_{0})

jetzt stimmt mein

f (c_{1})

mit

f (a_{1})

überein.

Dann ist einfach mein

a_{1} = 1,6321

und mein

b_{0} = b_{1} = 1 \Rightarrow f (b_{1}) = - e

und

f (a_{1}) = - 4,0830

k = 2

c_{2} = \frac{1.6321 \cdot (- e) - (1) \cdot (- 4,0830)}{(- e) - (- 4,0830)} = - 0,2590

Soweit wäre der Aufgabenteil

b)

abgeschlossen.

Also muss ich jetzt den Zwischenwertsatz verwenden?

Da blicke ich jedoch noch nicht durch, wie ich da ansetze?

Grüße und danke Euch,

Elena

rundblick aktiv_icon

18:12 Uhr, 15.06.2017

.
hm- du richtest ja ein ganz schönes Chaos an mit deinen Indices usw

ich vesuche dir den Sachverhalt mal - wie ich finde - etwas übersichtlicher zu verkaufen:

Voraussetzung der regula falsi :

du brauchst zwei x-Werte a und

b .

. ( hier in dem Intervall

[- 1, + 1]

in dem

f

eine NS hat )

und zwar so, dass die Funktionswerte

f (a)

und

f (b)

verschiedene Vorzeichen haben (wichtig!)
und zwar

\to

f (a) < 0

und

f (b) > 0

dann bekommst du mit

c = \frac{a \cdot f (b) - b \cdot f (a)}{f (b) - f (a)}

einen neuen x-Wert

c,

der näher bei der gesuchten Nullstelle im geg. Intervall liegen wird.

und NUN musst du

\to f (c)

berechnen

\to

wenn

f (c) < 0,

dann ersetze das obige

\to a

durch dieses

c . .

. (nicht durch das

f (c)! . .)

also verwende nun die obige Formel mit gleichem

b

und nimm für a den neuen Wert

c

du bekommst so wiederum ein anderes

c,

das noch besser die Nullstelle annähert
und kannst damit das Verfahren neu starten

\to

wenn aber

f (c) > 0 .

. dann analog mit->

b = c

und mit altem a weitermachen

usw, usw..
verständlich?

und total nebenbei:

71

??
.

Eleonora71 aktiv_icon

19:32 Uhr, 15.06.2017

Hallo,

total nebenbei

71

?

Ja ich habe mich verlesen, ich dachte man muss die Grenzen des Intervalls nehmen. Daher wunderte ich mich mit dem

b_{0} = 0

. Dann ist es ja soweit einleuchtend. Das Vorgehen habe ich ja verstanden. Danke.

Was mir jetzt noch Probleme bereitet ist der andere Aufgabenteil mit dem Beweis der Existenz der Nullstelle im Intervall

[- 1; 1]

.

Könnten wir das nochmal durchgehen Schritt für Schritt, weil ich da doch Verständnisprobleme habe.

Der ZWS garantiert bei einer stetigen Funktion mindestens eine Nullstelle bei einem abgeschlossen Intervall, wenn die Funktion dort die Funktion

f (a)

und

f (b)

verschiedene Vorzeichen annimmt. Soweit ist es ja klar.

Nur wie zeige ich das jetzt?

Danke rundblick,

Elena

DrBoogie aktiv_icon

20:22 Uhr, 15.06.2017

"Nur wie zeige ich das jetzt?"

Was das? Dass

f (- 1)

und

f (1)

verschiedene Vorzeichen hat? Echt? :-O

Eleonora71 aktiv_icon

20:26 Uhr, 15.06.2017

Hallo,

damit es auch formal gut ist...

Oder soll ich einfach

f (x) = x^{2} - x - e^{x}

hat eine Nullstelle im Intervall

[- 1; 1],

f (- 1) = 1,6321

und

f (1) = - e

ist. VZW

\Rightarrow

Nullstelle nach ZWS

DrBoogie aktiv_icon

20:27 Uhr, 15.06.2017

Genauso, wie sonst. Nur musst Du auch erwähnen, dass die Funktion stetig ist (aber nicht beweisen).

rundblick aktiv_icon

20:53 Uhr, 15.06.2017

.
.
"Nullstelle nach ZWS"

\to

allerdings meldet dir der ZWS nicht wieviele Nullstellen - also

\to

"mindestens eine"

\to

um zu zeigen, dass dein Beispiel GENAU EINE Nullstelle in

[- 1; 1]

hat,
genügt es , mit den bekannten Methoden zu zeigen, dass

f (x) = x^{2} - x - e^{x}

im Intervall

\to I = [- 1; 1]

streng monoton fallend ist..
also zeige zB

\to f' (x) < 0 .

. für alle

x \in I

nebenbei: das Max. von

f' (x)

ist bei

x = ln 2 ... (

das findest du mit

f

" )
und

f' (ln 2) = - 3 + ln 4 . .

. also

\to f' (ln 2) = - 1, 6 .

< 0

dh der grösste Wert von

f'

ist negativ, dh alle anderen Werte sind noch "negativer"

jetzt ok, Eleonora71 ?

ach ja

\to

wieso

71

?
.

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