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Nullstelle berechnen ohne Taschenrechner

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Logarithmus, Nullstell

logwolf aktiv_icon

11:23 Uhr, 16.07.2016

Hallo

Habe folgendes Problem: Wie bestimmt man bei folgendem Term die Nullstellen OHNE Taschenrechner, WolframAlpha oder ähnliches! Also nur per Hand!

ln(x²+1)+ (x²-4)/(x²+1)=0
Ansatz würde schon helfen!

Danke im vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

11:31 Uhr, 16.07.2016

Per Hand geht es nicht.
Die Nullstellen sind übrigens ganz "krumme" Zahlen:

1.25355 . . . .

logwolf aktiv_icon

11:35 Uhr, 16.07.2016

Danke für die schnelle Antwort! Taschenrechner ist leider nicht erlaubt.
Kann man den Term nicht irgendwie umformen, dass man an das "x" kommt?

DrBoogie aktiv_icon

11:38 Uhr, 16.07.2016

"Kann man den Term nicht irgendwie umformen, dass man an das "x" kommt?"

Dann wäre die Gleichung aber per Hand lösbar. Ist sie aber nicht.
Bist Du sicher, dass die Gleichung richtig abgeschrieben ist?

logwolf aktiv_icon

11:44 Uhr, 16.07.2016

Die Orginalfunktion lautet:

f (x) =

(x²-4)*ln(x²+1)
Wir sollen die Nullstellen und Extrema bestimmen. Die Nullstellen habe ich. Die Ableitung lautet wie folgt:

f' (x) =

2x(ln(x²+1)+(x²-4)/(x²+1)). Das ganze Null setzen:

2 x = 0

oder der andere Term

= 0 \to x = 0!

Wie sieht das mit dem 2. Teil aus?

DrBoogie aktiv_icon

11:50 Uhr, 16.07.2016

Hm, komisch. Aber per Hand kann man die Nullstellen in diesem Fall nicht berechnen, so ist das halt.

logwolf aktiv_icon

11:53 Uhr, 16.07.2016

Ok Danke! Vielleicht hat sich der Matheprof auch vertan

Shipwater aktiv_icon

12:14 Uhr, 16.07.2016

Möglich wäre nur folgendes:

ln (x^{2} + 1) + \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1} = 0

\Leftrightarrow ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + x^{2} - 4 = 0

\Leftrightarrow ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + x^{2} + 1 = 5

\Leftrightarrow (ln (x^{2} + 1) + 1) (x^{2} + 1) = 5

\Leftrightarrow (ln (x^{2} + 1) + 1) (x^{2} + 1) e = 5 e

\Leftrightarrow (ln (x^{2} + 1) + 1) e^{ln ((x^{2} + 1) e)} = 5 e

\Leftrightarrow (ln (x^{2} + 1) + 1) e^{ln (x^{2} + 1) + 1} = 5 e

\Leftrightarrow ln (x^{2} + 1) + 1 = W (5 e)

\Leftrightarrow ln (x^{2} + 1) = W (5 e) - 1

\Leftrightarrow x^{2} + 1 = e^{W (5 e) - 1}

\Leftrightarrow x^{2} = e^{W (5 e) - 1} - 1

\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{e^{W (5 e) - 1} - 1}

Hierbei ist

W

die Lambertsche W-Funktion: de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

logwolf aktiv_icon

12:20 Uhr, 16.07.2016

Danke. Von der lambertschen w-Funktion habe ich noch nie gehört. Vielleicht sollte das aber so sein.

Shipwater aktiv_icon

12:21 Uhr, 16.07.2016

Wenn ihr das in der Vorlesung nicht eingeführt habt, dann ist das sicher nicht der verlangte Weg. Frag einfach mal nach oder schau wie die Aufgabe in der Übung gelöst wird.
Du kannst sonst höchstens sagen, dass es zwei (lokale) Minima bei

\pm \sqrt{e^{z - 1} - 1}

gibt, wobei

z

die eindeutige reelle Zahl mit

z e^{z} = 5 e

ist (dass es genau ein

z \in ℝ

mit

z e^{z} = 5 e

gibt könntest du dann auch noch beweisen, das ist nicht schwer).

ledum aktiv_icon

15:22 Uhr, 16.07.2016

Hallo
wer verlangt das von dir? oder sollst du nur sagen ob und wieviele Nullstellen es gibt und wo sie ungefähr liegen?
dann würde ich erstmal

\frac{x^{4} - 1}{x^{2} + 1}

kürzen, und untersuchen wo die fkt negativ und positiv ist.
Gruß ledum

logwolf aktiv_icon

15:50 Uhr, 16.07.2016

Das ist eine Übungsaufgabe zur Vorbereitung auf die Klausur. Nullstellen und Extrema bestimmen. ich frag mal beim Prof nach.

Shipwater aktiv_icon

18:04 Uhr, 16.07.2016

Du kannst ja anschließend hier berichten :-)

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