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Nullstelle einer Tangente berechnen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Corky aktiv_icon

10:51 Uhr, 11.03.2011

Hallo,
ich habe folgende aufgabe zu lösen:
Gegeben ist die Funkion

f

mit

f (x) = 0,5 x^{2} - 8

Es soll die Gleichung der Tangente an die Funktionskurve an der Stelle

x 0 = 5

ermittelt werden. Sodann soll die Nullstelle

x 1

dieser Tangente ermittelt werden.
Dies soll noch an zwei weiteren Punkten

(x 1

und

x 2)

passieren.
Anschließend soll gezeigt werden gegen welchen Wert die ermittelten Tangenten streben.

Da die Ableitung

f' (x) = x

ist, frage ich mich, ob hier überhaupt gerechnet werden muss, zumal die Punkte

x 1

und

x 2

nicht angegeben sind. Sie sind gemäß zugehöriger Abbildung jedoch beide kleiner als

x 0

.

Kann mir hier einer weiterhelfen?

Danke und viele Grüße
Corky

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Edddi aktiv_icon

11:05 Uhr, 11.03.2011

Mit

f' (x)

berechnest du ja nur die Steigung der Tangente.

Dies hat ja die Form:

y_{T} (x) = m \cdot x + n

Für

x = 5

ist die Steigung

m : f' (5) = 5

(wie du schon richtig hattest):

Somit kannst du schon schreiben:

y_{T} (x) = 5 \cdot x + n

Da dir das

n

noch fehlt, setzen wir einfach einen gegebenen Punkt der tangente ein, und das ist genau der Berührungspunkt mit der Parabel, denn da kennne wir auch den Funktionswert:

f (5) = \frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 8 = \frac{9}{2}

Somit ist auch:

y_{T} (x) = 5 \cdot x + n

(\frac{9}{2}) = 5 \cdot (5) + n

und damit

n = - \frac{41}{2}

Deine Tangente hat also die Funktion:

y_{T} (x) = 5 \cdot x - \frac{41}{2}

Nun die Nullstelle suchen:

0 = 5 \cdot x - \frac{41}{2}

x = 4,1

...durch Einsetzen einer Variablen könntest du dann noch zeigen, dass die Schnittpunkte der Tangenten für jedes

0 < x < 5

größer 4 sind.
Sie laufen für

x

bis 4 auf die 4 zu, bei 4 ist er genau 4 (Berührungspunkt mit der Parabel) und dann für alle weiteren positiven

x < 4

laufen sie dann bis ins Unendliche...

;-)

Corky aktiv_icon

11:24 Uhr, 11.03.2011

Vielen lieben Dank!!!!

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