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Nullstelle eines Polynoms ungeraden Grades
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 13:57 Uhr, 04.01.2005  |
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Hallo, ich brauch dringend Hilfe bei der Aufgabe "Zeige, dass ein reeles Polynom ungeraden Gerades eine reelle Nullstelle hat." wenn ich nicht irre muss man das mit dem Zwischenwertsatz beweisen. und somit muss man erst beweisen ob die Funktion stetig ist um den Zwischenwertsatz anzuwenden. ist der beweis nicht genauso als wenn ich das für irgendein polynom beweise??? bitte schnell um antwort!!! Caro |
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Hallo Caro, Zwischenwertsatz ist sicher der richtige Weg. Polynome sind von haus aus stetig und sogar differenzierbar. Ich denke nicht, dass du das separat zeigen musst, aber auch wenn, ist es nicht schwer. >"ist der beweis nicht genauso als wenn ich das für irgendein polynom beweise???" Worauf bezieht sich diese Frage? Gruß, Marco |
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anonymous 19:19 Uhr, 04.01.2005 |
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Hi! Die Frage, die Marco am Ende hatte wiederhole ich auch nochmal... also, hiermit getan. Ansonsten weißt du ja, dass ein Polynom im Komplexen in Linearfaktoren zerfällt, richtig? Ein Polynom n-ten Grades hat also genau n Nullstellen im Komplexen. Außerdem weißt du ja, dass Nullstelen aus C\R, also eben nicht-reelle immer paarweise auftauchen, also immer die eine Nullstelle zusammen mit ihrer konjugiert komplexen. Du hast also eine grade Anzahl von Nullstellen aus C\R. Vielleicht kannst du auch damit was anfangen? Gruß Christina P.S.: C bezeichnet natürlich die Menge der komplexen Zahlen und R die Menge der reellen Zahlen. |
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Hallo noch einmal, es ist tatsächlich so, dass der Umweg über die Komplexe Welt oft Einblicke in die Reelle gewährt. In diesem konkreten Fall ist das allerdings nicht zielführend. Der Weg ist vielmehr der, dass du eine reelle Zahl R finden musst, für die der Wert p(R) größer ist als Null und p(-R) kleiner als Null. Mit dem Zwischenwertsatz hast du dann deinen Beweis zusammen. In meinem ursprünglichen Posting vorhin hatte ich auch schon einen Verweis auf den vollständigen Beweis mit drin, habe mich aber entschlossen, dass es besser ist, wenn du ein bisschen darüber nachgrübelst. Die Lösung ist nicht offensichtlich, aber auch nicht soooo schwer zu finden. Ein Tipp noch: Diese ominöse Zahl R darf nur von den Koeffizienten deines Polynoms abhängen und das Polynom sollte normiert sein. Gruß, Marco |
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anonymous 00:03 Uhr, 05.01.2005 |
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Hi! An Marco mal: Ich wollt mal interessehalber fragen wieso das nicht zielführen ist. Mit dem Hauptsatz der Algebra folgt das doch quasi sofort. Dreizeiler... Vorausgesetzt man hatte den Satz schon. Wo ist das das Problem? Gruß Christina |
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Hi Krizzy, hallo Marco! Ich denke auch, dass Krizzys Weg zielführend ist. @ Krizzy: Du nimmst doch an, dass das Polynom ungeraden Grades keine reelle Nullstelle habe. Dann hat das Polynom (das erkennt man an deiner Argumentation bzgl. "konj. Komplexen") eine gerade Anzahl von Nullstellen, und ist damit ein Polynom geraden Grades. Widerspruch. (Oder ist da irgendwo "der Wurm" drin? Ich wüßte nicht, wo. Ich denke auch, das ist Krizzys Idee und ich sehe das genauso...) Beide Wege sind zielführend, auch der von Marco. @ Carolin: Ist dir nicht klar, warum Polynome stetig sind? Die "kurzgefaßte Argumentation": Endliche Summen stetiger Funktionen sind stetig, endliche Produkte stetiger Funktionen sind stetig, konstante Funktionen sind stetig und jedes Monom kann man als endliches Produkt der stetigen Funktion f: C -> C, f(z)=z (bzw. im "reellen Fall": f: IR -> IR, f(x)=x) auffassen; also ist jedes Monom natürlich auch stetig. Daraus folgt sofort die Stetigkeit eines jeden Polynoms. Viele Grüße, Marcel |
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anonymous 07:06 Uhr, 05.01.2005 |
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Hi! Was für eine Uhrzeitm Marcel :) Genau drüber nachgedacht wie ich das jetzt genau beweisen würde hab ich noch nicht, erstmal argumentiert. Aber Widerspruchsbeweis ist da natürlich am elegantesten. So war das schon gedacht. Schöner schlichter Beweis, oder nicht? Gruß Christina P.S.: Wieso um so ne Zeit noch wach? |
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Guten Morgen Christina und Marcel, natürlich geht das auch mit einem Widerspruchsbeweis, mein Fehler. Ich muss aufpassen, dass ich beim Training nicht so oft auf den Kopf falle. Zur Entschuldigung: Mein Professor für Lineare Algebra hielt Widerspruchsbeweise immer für den letzten Ausweg, wenn gar nichts anderes half. Gruß, Marco |
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Hallo Krizzy, hallo Marco! > Hi! > Was für eine Uhrzeitm Marcel :) > Genau drüber nachgedacht wie ich das jetzt genau beweisen würde hab ich noch nicht, > erstmal argumentiert. Aber Widerspruchsbeweis ist da natürlich am elegantesten. Es sollte aber stimmen, denke ich. :) > So war das schon gedacht. Schöner schlichter Beweis, oder nicht? Doch, wenn man den Satz zur Verfügung hat! > Gruß > Christina > P.S.: Wieso um so ne Zeit noch wach? Naja, gute Frage. Ich bin halt bekloppt. :) Aber gestern abend habe ich noch etwas abgetext, und das dauerte länger als geplant. Ich wollte aber wenigstens bis zu einer Stelle kommen (das hatte ich mir vorgenommen), also habe ich das auch noch bis dahin geschafft; naja, heute morgend um 02.30 Uhr war ich, glaube ich, fertig damit bzw. dann hatte ich keine Lust mehr, weiterzumachen. Daher war ich so spät noch wach, und bin dementsprechend müde momentan (naja, dann muss ich halt etwas mehr Kaffee trinken ;)). @ Marco: Hm, die Widerspruchsbeweise sind doch oft sehr elegant. Denke doch nur mal an den Standardbeweis (der oft auch schon in der Schule gemacht wird!), dass Wurzel(2) irrational ist! Aber eigentlich will ich mich da auch nicht festlegen. Je nach Situation ist ein Widerspruchsbeweis eleganter oder eben nicht. ;) Viele Grüße, Marcel |
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