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Nullstelle(n) Funktion: -1/4*x^2 + x + 1 + e^-x

Schüler Fachoberschulen, 13. Klassenstufe

Tags: Nullstelle(n) mit Rechenweg

 
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LukeSkywalker

LukeSkywalker aktiv_icon

11:13 Uhr, 24.05.2020

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Hallo Zusammen,

wie kann ich bei folgender Funktion die Nullstelle(n) bestimmen.

-14x2+x+1+e-x=0

Bitte den ausführlichen Rechenweg angeben.

Vielen Dank
Anton
Online-Nachhilfe in Mathematik
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supporter

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11:21 Uhr, 24.05.2020

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Das geht analytisch nicht.
Verwende ein Näherungsverfahren (Newton)!
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anonymous

anonymous

13:29 Uhr, 24.05.2020

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Grundsätzlich hat mein Vorredner Recht, analytisch geht das nicht.

In deinem Fall empfehle ich aber ggf., wenn du denn das näher untersuchen willst, mal eine Skizze / Wertetabelle / GTR / gute Prinzipdiagramm zu zeichnen.
Dann merkst du schnell:
Die einzige Nullstelle liegt schon recht weit "rechts" bei etwa x=ca. 5 .
Da wird der Anteil des Exponential-Ausdrucks schon sehr sehr klein.
Wenn du denn also mit Näherungen brauchbar umgehen willst, dann kannst du z.B. einfach den Exponential-Ausdruck weglassen, und einfach die verbleibende Parabel untersuchen.
Das wird natürlich nur eben dort "rechts" sinnvoll sein...

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Bummerang

Bummerang

13:52 Uhr, 24.05.2020

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Hallo,

bevor man kanonenartige Näherungsverfahren bemüht, sollte man sein Spatzenhirn einschalten und das Ganze mal etwas umformen:

-14x2+x+1+e-x=0

e-x=14(x2-4x-4)

e-x=14(x2-4x+4-12)

e-x=14(x-2)2-3

Auf Grund des "schwachen" Anstiegs der quadratischen Funktion gibt es keinen Schnittpunkt der beiden Graphen links vom Scheitel, dessen Stelle x=2 ja hier ablesbar ist. Für Rechts vom Scheitel ist die e-Funktion schon sehr nahe an der x-Achse und man überschlägt einfach, dass für x=6 der Term rechts bereits 1 ergibt, also der Schnittpunkt vorher sein muß. Die Nullstelle der rechten, quadratischen Funktion kann man leicht überschlagen, da dann gelten muß:

(X-2)3=12

Mit dem Wissen, dass 3,52=12,25 ist, muß gelten:

x-2<3,5

x<5,5

Da die e-Funktion zwar nahe der Nullstelle ist, diese aber noch nicht erreicht, lohnt es sich, x=5,5 als Startwert einer Näherungsiteration zu benutzen. Es gilt:

e(-5,5)0,00408677144

14(5,5-2)2-3=143,52-3=1412,25-3=3,0625-3=0,0625

Also liegt der Schnittpunkt der beiden Funktionen links vom Startwert 5,5.
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rundblick

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20:04 Uhr, 24.05.2020

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.

".. sollte man sein Spatzenhirn einschalten "
was dir gelungen ist .. oder ? ..


aber: wenn doch eh schon klar ist , dass kein genauer Wert berechnet werden kann,
warum denn nicht einfacher zu brauchbaren Näherungswerten anschleichen? ..

graphisches Verfahren, Kurve f(x)=-x24+x+1+e-x grob zeichnen lassen,
Nullstelle x0 ungefähr orten und
graphisch genauer in einer näheren Umgebung x0 weitersuchen
halt bis schnell eine gewünschte, brauchbare Näherung zB x04,834.. erreicht ist.

.
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

18:22 Uhr, 25.05.2020

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Hallo,

ein Frage an Bummerang: Woher kommt die -12 in der 3. Zeile?

Gruß pwm
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