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Nullstellen bei einer Aufgabe mit ln

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Tags: Extremstellen, Funktion, ln (x), Logarithmus

 
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blackniceguy

blackniceguy aktiv_icon

22:38 Uhr, 29.12.2013

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Gib hier Deine Frage ein. Gib am besten Deine bisherigen Lösungsansätze an. Du kannst hier auch Formeln schreiben. Beispiel: x2+2x+1x=0 (DIESEN TEXT BITTE LÖSCHEN

Hallo liebe Helfer,

diese funktionen ist gegeben: f(x)=ln(x)x2

Aufgaben: a)maximal möglicher Definitionsbereich
b)Nullstellen
c)lokale Extremstellen
d)Wendestelle

zu a und b habe ich D=R\{0} und N(0|0)
zu c:

f'(x)=x-ln(x)2xx4

f''(x)=1-6x4-2ln(x)x4+ln(x)8x4x8

Meine erste frage ist ob beider ableitungen richtig sind, und zweitens, wie berechne ich nun die Nullstellen? ich weiss dass gilt: f'=0f''>0 bzw. <0.

ich komme jedoch mit den "ln" nicht klar. wie forme ich sowas um? alles was ich weiß ist dass die umkehrfunktion von ln,ex ist und dass gilt eln(x)=x.
wie ich beides nutzen und in diesem fall einsetzen kann habe ich leider nicht rausgefunden.

Danke vielmals für eure hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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anonymous

anonymous

22:58 Uhr, 29.12.2013

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zu a)
Leider ist schon der Definitionsbereich falsch.
Überleg nochmals in Ruhe.
Sonst errechne mal beispielhaft den Funktionswert für x=-0.1 mit dem Taschenrechner.

zu b)
Leider ist auch die Nullstelle falsch.
Da du schon im Definitionsbereich den Wert x=0 ausgeschlossen hast, wie soll dann an der Stelle x=0 eine Nullstelle sein?
Auch hier: Überleg nochmals in Ruhe.

zu c)
Die Ableitung ist richtig, wenn auch noch nicht bestmöglich vereinfacht.
Überleg mal, lässt sich da vielleicht mit 'x' kürzen?
Wenn ja, wann ist ein Bruch gleich Null?
Tip: Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

zu d)
Wenn du die erste Ableitung vereinfacht hast, dann wird dir vielleicht auch eine vereinfachte Form der zweiten Ableitung gelingen...
Viel Erfolg!

blackniceguy

blackniceguy aktiv_icon

23:53 Uhr, 29.12.2013

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

a)den definitionsbereich berechne ich doch durch den nenner oder?
d.h. ich müsste x2 Nullsetzen.
da bekomme ich leider nur 0 raus. was habe ich übersehen?
Für x=-0,01 kriege ich keine lösung raus. Also ist -0,01 auch nicht im
Definitionsbereich. Lässt sich aber durch x2=0 nicht errechen. Gibt es eine andere
Möglichkeit diesen zu bestimmen?

b)hab einen Tippfehler gemacht. aus dem Zähler ergibt sich die Nullstelle (ln(1)=0)
N(1|0).

c)danke für den hinweis: f'(x)=1-2ln(x)x3,f''(x)=1+6ln(x)x
ich hoffe ich habe richtig vereinfacht.

1-2ln(x)=0
ln(x)=12

Kann ich jetzt eln(x) also e12 rechnen und die lösung wäre dann der x-Wert für
eine Extremstelle?

d)für die wendestelle gilt ja f''(x)=0f'''(x)<>0
f'''(x)=5+6ln(x)x2
Antwort
pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

00:13 Uhr, 30.12.2013

Antworten
ln(x)=½

eln(x)=e(½)

und nicht e12

!!!
Antwort
anonymous

anonymous

00:47 Uhr, 30.12.2013

Antworten
zu a) Definitionsbereich:
Um die Funktion berechnen zu können
> muss sowohl der Nenner ungleich Null sein, damit geteilt werden kann,
> als auch der Logarithmus berechenbar sein!
Überleg dir: wie muss x aussehen, damit beide Bedingungen erfüllt sind?

zu b)
Ja, die Nullstelle sieht so viel besser aus!
:-))

zu c)
Ja, die erste Ableitung ist so korrekt vereinfacht.
Wie schon Pleindespoir sagte:
Wenn ln(x)=0.5
dann: xe=e0.5
Ich vermute, das war bei dir nur ein Schreib- (oder Klammer-) Fehler.

"und die lösung wäre dann der x-Wert für eine Extremstelle?"
Ja! An Extremstellen gilt: f'(x)=0
Du hast errechnet, dass an der Stelle xe zutrifft, dass f'(xe)=0.
Also ist hier eine Extremstelle.

zu d)
Leider ist dir die zweite Ableitung noch nicht recht gelungen.
:-(
Überleg noch mal in Ruhe!...

blackniceguy

blackniceguy aktiv_icon

03:11 Uhr, 30.12.2013

Antworten
a) okay, habe dass mit dem logarithmus nicht gehabt.
Daraus würde sich ergeben dass der definitionsbereich für alle x>0 gilt: D=R\{0,x<0}

c). f''(x)=-5+ln(x)6x3
f''(e12)=-0,446, hinreichende Bedingung erfüllt. f(e12) ist ein Maximum.
f(e12)=0,1839H(e12|0,1839)

d)f'''(x)=21-18ln(x)x3
f''(x)=0ln(x)=56x=e56
f'''(e56)=-4006, hinreichende Bedingung erfüllt. f(e56) ist eine Wendestelle.

Leider gibt mein Tachenrechner keinen Wert für die genannte x-Stelle. Ist meine
Rechnung nicht korrekt? Oder woran liegt es?
Antwort
anonymous

anonymous

06:19 Uhr, 30.12.2013

Antworten
Hallo nochmals.

zu c)
Deine zweite Ableitung sieht jetzt schon etwas besser aus.
Dennoch - ein (Flüchtigkeits-) Fehler führt dazu, dass die zweite Ableitung immer noch nicht recht gelungen ist.
:-(
Der Hochpunkt stimmt aber.
:-)

zu d)
Da die zweite Ableitung nicht stimmt, stimmt natürlich auch die dritte Ableitung nicht.
Zur Übung darfst du dich gerne nochmals üben.
Oder aber, wozu mühst du dich mit der 3. Ableitung, wozu brauchst du die?

Dennoch (trotz falscher zweiter Ableitung) kann ich gerne bestätigen: Die Wendestelle befindet sich bei xw=e56
Der Taschenrechner sollte kein Problem damit haben, den Funktionswert an der Wendestelle zu errechnen.
Wenn du es nochmals in Ruhe machst, dann kommt es sicherlich auch raus:
f(e56)=0.1574

blackniceguy

blackniceguy aktiv_icon

12:40 Uhr, 30.12.2013

Antworten
ich komme mt diesen ableitungen nicht klar.

c) habe ein paar mal die 2. ableitung berechnet und komme immer auf das gleiche.

f''(x)=(0-(1x)2-ln(x)0)x3-((1-ln(x)2)3x2)x6
=-2x2-3x2+ln(x)6x2x6
=-5+ln(x)6x3

d)ich brauche doch die dritte ableitung um zu beweisen dass die hinreichende
bedingung erfüllt ist, oder? Sprich, für eine Wendestelle: f''(x)=0f'''(x)<>0
Antwort
anonymous

anonymous

14:08 Uhr, 30.12.2013

Antworten
c)
Wie gesagt: Flüchtigkeitsfehler!
Richtig ist doch noch:
-2x2-3x2+6x2ln(x)x6=-5x2+6x2ln(x)x6
Jetzt wirst du berechtigt auf die Idee kommen, vereinfachend mit (x2) zu kürzen.
Also dann, (im Nenner):
was ist x6x2?

d)
Ein Wendepunkt hat die Eigenschaft:
f''(x)=0.
Von der Eigenschaft
f'''(x)<>0
ist mir nichts bekannt.

Überleg doch mal das Gegenbeispiel:
Die Funktion y=x3
hat doch auch einen Wendepunkt an der Stelle [x=0;y=0].
Deren Funktionswert sowie sämtliche Ableitungen sind alle Null.
Die dritte Ableitung ungleich Null ist also keine Bedingung für einen Wendepunkt.

blackniceguy

blackniceguy aktiv_icon

16:26 Uhr, 30.12.2013

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Natürlich, danke:

f''(x)=-5+ln(x)6x4

zu d)
laut meiner formelsammlung, darf f'''(x)=0 sein, jedoch muss man in diesem falle dann höhere ableitungen ungerader ordnung untersuchen.

f'''(x)=26-ln(x)24x5

Hoffe jetzt ist alles richtig.
Antwort
anonymous

anonymous

16:45 Uhr, 30.12.2013

Antworten
Ich habe zwischenzeitlich auch ein wenig nachgelesen.
Unter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt
findet man tatsächlich weitere Kriterien über höhere Ableitungen.
Das ist auch mir neu.
Sorry, wenn ich hier Verwirrung gestiftet habe.
Soweit es mir bisher bei stetigen (Schul-) Aufgaben begegnet ist, hat sich mein Umfeld eigentlich immer mit dem Kriterium
f''(x)=0
begnügt.
Aber ich lerne ja gerne dazu.
:-)

Frage beantwortet
blackniceguy

blackniceguy aktiv_icon

16:53 Uhr, 30.12.2013

Antworten
Vielen Dank für deine Hilfe und die unglaubliche Geduld! :-)