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Nullstellen des Gradienten

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Tags: Funktion, Gradient, Nullstell

 
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Jenny-M

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14:21 Uhr, 26.07.2022

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Hallo,

ich wollte zur Übung eine Extremwertaufgabe lösen und bin die üblichen Schritte durchgegangen, bzw. wollte es tun, denn bei dem Finden der kritischen Punkte hänge ich fest.
Ich bin gerade wirklich zu blöd um eine Lösung zu bekommen und brauche daher eure Hilfe.

Es geht um folgende Gleichung: y4-3yx2-x3.

Der Gradient lautet: (-3x2-6xy4y3-3x2).
Ich habe versucht auszuklammern und umzustellen, aber alles erfolgslos.

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
michaL

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15:44 Uhr, 26.07.2022

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Hallo,

es ist das (nicht lineare) Gleichungssystem
3x26xy=04y33x2=0

Die erste Gleichung faktorisierst du zu -3x(x+2y)=0, dem man x=0x=-2y entnimmt.

Subtrahiert man die beiden Ausgangsgleichungen voneinander, so erhält man 4y3+6xy=0, was zu 2y(2y2+3x)=0 faktorisiert.

Dem entnimmt man x=0x=-23y2.

Eine Lösung ist demnach offenbar (00), also x=0=y. (Aus x=0 für beide Rechnungen)

Eine andere erhältst du aus -2y=x=-23y223y2=2yy023y=2y=3. Kontrolle: x=-2y=-6 und x=-23y2=-6

Eine weitere Lösung ist demnach (-63).

Das war nur ein Lösungsweg. Er enthält keine Zauberei (o.ä.). Ich wage mal zu vermuten, dass die Kombination aus Subtraktion und anschließender Faktorisierung von dir nicht allein zu leisten gewesen wäre?!
Das aber sind Standardrechenverfahren aus der Mittelstufe. Die muss man (offenbar) für ein Studium mit deines mit diesem Mathematikanteil "drauf" haben.

> Ich habe versucht auszuklammern und umzustellen, aber alles erfolgslos.

Das klingt nicht so glaubwürdig...
aus 0=-3x2-6xy nicht 0=-3x(x+2y) zu bekommen (oder von mir aus auch 0=x(-3x-6y), ist doch - hm - ungewöhnlich, oder?

Dann hätte man diese beiden Teillösungen auch gerne in die zweite Gleichung einsetzen können wäre so zu Lösungen gelangt.
Warum klappt das nicht? Was hast du probiert?

Mfg Michael
Jenny-M

Jenny-M aktiv_icon

16:29 Uhr, 26.07.2022

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Okay, vielen Dank erstmal.
Ich hätte die Frage vielleicht ausführlicher formulieren sollen. Den Anfang hatte ich genauso ich habe -3x2-6xy=0 ausgeklammert um -3x(x+2y) zu erhalten. Den Punkt (0|0) hatte ich auch raus. Schwierigkeiten hatte ich dann mit dem Punkt x=-2y. Als ich diesen nämlich in die zweite Gleichung eingesetzt habe, habe ich keine "schöne" Lösung erhalten, wovon man in einer Klausur mehr oder weniger ausgeht. Daher dachte ich dann, dass mein kompletter Lösungsweg falsch wäre.

An sich habe ich deine Rechnung verstanden, aber du meintest, dass ich x=-2y auch in die zweite Gleichung einsetzten könnte und das selbe Ergebnis erhalten würde. Könntest du mir bitte zeigen, wie da die Rechnung aussieht.

Nachdem ich das jetzt nochmal neu gerechnet habe, komme ich immer noch nicht auf (-6|3), heißt ich verrechne mich an einer Stelle.

LG
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

16:59 Uhr, 26.07.2022

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Hallo,

x=-2y soll in 4y3-3x2=0 eingesetzt werden:

0=4y3-3(-2y)2=4y3-34y2

> Könntest du mir bitte zeigen, wie da die Rechnung aussieht.

Ja, den Anfang habe ich gemacht. Jetzt mach du da mal weiter!

Mfg Michael
Frage beantwortet
Jenny-M

Jenny-M aktiv_icon

17:16 Uhr, 26.07.2022

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Ich wusste es, mir ist ein dummer Fehler eingeschlichen.
Ich habe die 2 von -2y nicht quadriert und bin daher die ganze Zeit auf ein falsches Ergebnis gekommen.
Vielen Dank für deine Geduld und Erklärungen :-D).