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Nullstellen einer trigonometrischen Gleichung

Schüler Berufskolleg,

Tags: Extrema, Extrempunkt, Funktion, Gleichungen, Nullstellen, Schnittstellen, Trigonometrische Funktionen

Cappuccino90 aktiv_icon

19:18 Uhr, 22.03.2014

Hallo,
ich soll in ein paar Wochen einen kleinen Vortrag vor der Klasse halten und ein paar Aufgaben vor der Klasse erklären und lösen.
Ich habe im Anhang einen Buchausschnitt hochgeladen. Ich muss die Aufgabe

6 a - c

machen.
Ich konnte das Thema trigonometrische Funktion immer sehr gut, doch hier ist jetzt ein besonderer Fall.

Es gilt das Funktionsschema: f(x)=a*sin(bx)+mx+c

In der Aufgabe direkt lautet die Funktionsgleichung: f(x)=x-1+2sin(x)
im Intervall von

[0; 7]

Gefragt sind Nullstellen und Extrempunkte.

Ich habe es schon geschafft die x-Stelle des 1. Hochpunktes zu berechnen.

f'(x)=2cos(x)+1

f' (x) = 0

2cos(x)=-1

cos (x) = - 0,5

x=arccos(-0,5)

x = 2,094

Das war einfach, da hier nach nur einem x-Wert gefragt ist.
Beim Nullstellen berechnen würde ja mein Ansatz folgendermaßen lauten:

f (x) = 0

x-1+2sin(x)=0
2sin(x)=-x+1

sin (x) = - (\frac{x}{2}) + 0,5

Jetzt habe ich jeweils ein

x

auf beiden Seites der Gleichung. Und da bin ich ratlos wie ich weiter verfahren könnte

\frac{:}{}

Das hatten wir in der Schule mit solchen schrägverlaufenden Funktionen auch noch nicht. Aber ich will den Lehrer nicht enttäuschen.

Ich hoffe ihr könnt helfen.

Gruß
Cappuccino90

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19:30 Uhr, 22.03.2014

Das ist algebraisch nicht lösbar. Du benötigst ein Näherungsverfahren

(z . B

. Newton)

Sukomaki aktiv_icon

19:48 Uhr, 22.03.2014

Hallo Cappuccino90,

Um die Nullstellen anzunähern, kannst du die Taylor-
Entwicklung benutzen.

Es ist

\sin (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \cdot \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

Nimmst Du nur den ersten Summanden (

= x

), so bekommst Du die Gleichung

x - 1 + 2 \cdot x = 0

. Die Lösung ist an dem tatsächlich Wert recht nah dran (

< \frac{1}{100}

).

Du kannst das machen, weil

\sin (x)

um Null herum gut durch

x

angenähert wird.

Gruß
Kai

Cappuccino90 aktiv_icon

20:10 Uhr, 22.03.2014

Danke Maki67, jedoch ist das schon sehr viel höher als das Unterrichts-Niveau (Berufskolleg zur Fachhochschulreife). Wir haben gerade mal die Kurvendiskussion mit trigonometrischen Funktionen. Wenn sich niemand sonst mehr melden sollte die nächsten 2 wochen, werde ich deinem Lösungsansatz nachkommen und es damit probieren.

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