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Nullstellen eines Polynoms

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Funktionentheorie

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, polynom, stetig differenzierbar, Stetigkeit

 
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Mathe-Lo

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22:07 Uhr, 05.07.2020

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Zu zeigen ist , dass die Nullstellen eines Polynoms stetig differenzierbar von den Koeffizienten anhängen.
Dafür muss man die folgende Funktion betrachten :
F:ℝn+1×ℝ→ℝ, (a,x)↦∑k=0nakxk,
mit n∈ℕ und a=(a0,...,an)∈ℝn+1 . Wie nehmen an , dass das Polynom x↦F(a,x) in ψ∈ℝ eine Nullstelle hat mit ∂xF(a,ψ)≠0 . Zeige , dass es eine Umgebung U⊆ℝ gibt, sodass das Polynom
x↦F(b,x) eine Nullstelle in f(b) hat für alle b∈U.

Wäre sehr dankbar für allen Ideen .
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:10 Uhr, 05.07.2020

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de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

22:30 Uhr, 05.07.2020

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Ja , ich weiß den Satz , aber wie kann ich ihn denn benutzen , um meine Aufgabe zu zeigen?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

09:26 Uhr, 06.07.2020

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Einfach direkte Anwendung des Satzes, man braucht eigentlich gar nichts zu machen.
Du hast statt F(x,y)=0 in der klassischen Formulierung hier F(a,x)=0, aber das ändert nichts. Der Satz gibt dir dann x=f(a), so dass F(a,f(a))=0 für alle a aus einer passenden Umgebung.
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