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Nullstellenberechnung der 1. Ableitung
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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hey leute ich schreibe morgen eine mathe arbeit. die mathe arbeit entscheidet darüber ob ich wiedehrolen werde oder nicht...nun bin ich bei einigen aufgaben hängen geblieben..würde mich sehr freuen wenn jemand mir behilflich sein kann. aufgabe 1: Gegeben: Die Funktion f(x)=2x^2-x Bestimme die Ableitung f' dieser Funktion an der Stelle x=2 mittels Grenzwert. Was genau ist mit dieser 2 gemeint..??? Aufgabe 2: Gegeben: Zwei Funktionen f, g mit: f(x)= -x^3+4x; g(x)=4x 1. Bestimme zu f: Nullstellen, Symmetrie und Verhalten von f(x) für x -> oo 2. Berechne die Nullstellen der Ableitung f'. Der Graph der Funktion hat einen relativen Hochpunkt H und einen relativen Tiefpunkt T. Verwende die Nullstellen der Ableitung f' zur Berechnung dieser beiden Punkte H und T. Danke im voraus... |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) |
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Also ich kann dir bei der 2.Aufgabe etwas behilflich sein: Undzwar die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion. Das ist wirklich nicht schwer: f(x)= -x^3 + 4x Kannst du Ableitungen überhaupt bilden? Wenn nicht, bei solchen Funktionen ist das wirklich einfach. du setzt einfach den Exponent des Terms, also als Beispiel x^3, vor den Term und gleichzeitig wird der Exponent um eine Zahl kleiner , daraus folgt = 3x^2.. wenn ein Minus vor dem Term steht, wirds auch beibehalten. f´(x) = -3x^2 + 4 So ,und nun die Nullstellen dieser Ableitung, dafür setzt man die Funktion 0. <=> -3x^2 + 4 = 0 | geteilt durch -3 <=> x^2 - 4/3 = 0 | plus 4/3 <=> x^2 = 4/3 | jetzt noch plus/minus wurzel ziehen. also die wurzel ziehen und einmal ein minus davor setzen, einmal ein plus. das sind dann deine nullstellen x^und x2. Die Ableitung von g(x) = 4x ist f´(x)= 4, die Nullstelle liegt hier bei 4, denn wenn du g(x) 0 setzt, bleibt 4 übrig => Nullstelle. Ich hoffe, ich konnte dir etwas helfen. |
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Achso, es geht ja noch weiter... Hoch -und Tiefpunkte. Stimmt, du musst die erste Ableitung zur Berechnung von Hoch-und Tiefpunkten, allgemein gesagt Extremstellen, bilden. Die erste Ableitung hatten wir: f´(x)= -3x^2 + 4 So, es gibt die notwendige Bedingung zur Berechnung von Extremstellen: x ist Extremstelle => f´(x) = 0 ^^das haben wir ja schon getan und 2 werte herausbekommen. das sind unsere x-werte des maxi-bzw. minimums. dann kommt dir hinreichende bedingung: Wenn f´(x) = 0 v (mathematisches zeichen für oder) f´´(x)< 0 =>relatives Maximum Wenn f´(x) =0 v f´´(x)>0 => relatives Minimum. So, das heißt du setzt die werte, die du bei den nullstellen der ersen ableitung raushast in die zweite ableitung ein. f´´(x) = -6x g´´(x)= 0 und dann schaust du ,was rauskommt, ob der wert halt größer oder kleiner null ist. wenn er kleiner ist, hast du ein maximum ,also deinen hochpunkt. der x-wert des hochpunktes ist die nullstelle, die du in die 2.ableitung eingesetzt hast, den y-wert bekommst du heraus, indem du die diese nullstelle in die ausgangsfunktion einsetzt. und den tiefpunkt bekommst du genauso raus. die symmetrie einer funktion erkennst du am grad einer funktion. der grad einer funktion ist immer der höchste exponent. z.b.: 4x^3 + 3x^2 - 5x^9 ^^der grad dieser funktion ist 9, da 9 der höchste exponent ist. und an den exponenen erkennst du auch die symmetrie. hat eine funktion nur gerade exponenten, z.b.: f(x)= 3x^2 + 4x^6 - 8x^4 dann ist die achsensymmetrisch, also symmetrisch zur y-achse. hat eine funktion gemischte exponenten, gerade und ungerade --dann ist sie punktsymmetrisch für koordinatenursprung. es gibt allerdings auch eine formel zur errechnung der symmetrie: wenn f(x) = f(-x) => ACHSENSYMMETRIE wenn f(-x) = -f(x) =>PUNKTSYMMETRIE wenn beides ungleich null ist, dann hat die funktion gar keine symmetrie. also deine funktion ist punktsymmetrisch. |
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ich danke dir unendlich sehr..das war mir sehr hilfreich..nun habe ich aber eins nicht verstanden...wie berechne ich die hoch- und tiefpunkte?da kenn ich mich gar nicht aus.. danke im voraus |
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notwendige bedingung für die berechnung von hoch-und tiefpunkten, also von extrempunkten, ist die erste ableitung null zu setzen und die nullstellen auszurechnen. diese nullstellen setzt man DANN in die 2.ableitung ein, und schaut, was rauskommt. wenn man 2 nullstellen hat, kann es sein, dass einmal ein wert über null (minimum=tiefpunkt) und ein wert unter null (maximum=hochpunkt) rauskommt. die nullstellen, die du von der 1.ableitung ausgerechnet hast, sind gleichzeitig die x-werte der hoch-und tiefpunkte, kommt dann halt drauf an, was raus kommt, wenn du sie in die 2.ableitung einsetzt. wenn dus eingesetzt hast, also als beispiel: du setzt eine nullstelle der ersten ableitung in die 2.ableitung ein, es kommt 1 raus, dann ist es ein relatives minimum, da der wert über null ist. dann weißt du, cool, es ist ein minimum, als ist der wert, den ich in die 2.ableitung eingesetzt habe, also die eine nullstelle der 1.ableitung, der x-wert von meinem tiefpunkt. okay, dann brauchst du nur noch den y-wert, um dann hinzuschreiben: T(../..). dazu setzt du den x-wert in die ausgangsfunktion ein und fertig, du hast deinen tiefpunkt. noch fragen? Wenn f´(x) = 0 v (mathematisches zeichen für oder) f´´(x)< 0 =>relatives Maximum Wenn f´(x) =0 v f´´(x)>0 => relatives Minimum. So, das heißt du setzt die werte, die du bei den nullstellen der ersen ableitung raushast in die zweite ableitung ein. f´´(x) = -6x g´´(x)= 0 |
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