Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Nullstellenproblem in Fixpunktproblem

Nullstellenproblem in Fixpunktproblem

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Banachscher_Fixpunktsatz, Funktion, Nullstell

Antworten

Neue Frage stellen

Im Forum suchen

Neue Frage

Bierlu

Bierlu aktiv_icon

12:16 Uhr, 18.05.2020

Antworten

Ich habe die Funktion

f (x) = x^{2} + 5 x - 6

im Intervall I=

[

0,2] gegeben und suche deren Nullstellen. Nun möchte ich das Nullstellenproblem in ein Fixpunktproblem umwandeln und dann zeigen, dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatz erfüllt sind.

Hierzu muss ich doch zunächst auf beiden Seiten

x

addieren. Ich erhalte also:

g (x) = x^{2} + 6 x - 6

Um zu zeigen, dass diese Funktion kontrahierend ist muss doch die Kontraktionszahl kleiner als 1 sein.
Ich erhalte für die Ableitung jetzt:

g' (x) = 2 x + 6 \Rightarrow g' (2) = 10

und

g' (0) = 6

ich erhalt also

g' (x) \in [6,10]

was mache ich hier falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

12:24 Uhr, 18.05.2020

Antworten

Hallo,

ein Fixpunktproblem hat die Gestalt

x = F (x)

,
d.h. du musst deine Gleichung so umformen, dass links ein

x

steht.

Gruß ermanus

Bierlu

Bierlu aktiv_icon

12:28 Uhr, 18.05.2020

Antworten

ja aus

x^{2} + 5 x - 6 = 0

wird doch

x^{2} + 6 x - 6 = x

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

12:36 Uhr, 18.05.2020

Antworten

Ah! OK!
Das hat ja aber nichts gebracht, ist auch ein bisschen "künstlich",
ich würde doch eher

x^{2} + 5 x - 6 = 0

umformen in

x = \frac{1}{5} (6 - x^{2})

. Vielleicht gehts damit besser.

Bierlu

Bierlu aktiv_icon

15:48 Uhr, 19.05.2020

Antworten

Achse klar! Ja das klappt besser.

Ich erhalte somit

g' (2) = \frac{2}{5}

und

g' (0) = \frac{6}{5}

also

g' (x) \in [\frac{2}{5}, \frac{6}{5}]

.
Aber wie bestimme ich jetzt die Kontraktionskonstante?

Bierlu

Bierlu aktiv_icon

15:50 Uhr, 19.05.2020

Antworten

Diese müsste doch

L = \frac{6}{5}

sein wegen

g' (2) = \frac{6}{5}

oder?

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

15:56 Uhr, 19.05.2020

Antworten

Hallo,

ich weiß ja nicht, was du da rechnest. Wenn

g (x) = \frac{1}{5} (6 - x^{2})

ist, ist bei mir

∣ g ʹ (x) ∣ = \frac{2}{5} x

auf

[0, 2]

,
und das liegt in

[0, \frac{4}{5}]

.

Gruß ermanus

Bierlu

Bierlu aktiv_icon

15:58 Uhr, 19.05.2020

Antworten

Oh Mist! Sorry hab falsch abgeleitet.

Okay also ist

L = \frac{4}{5}

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

16:01 Uhr, 19.05.2020

Antworten

Genau ;-)
Und das ist freundlicherweise

< 1

.
Du musst nur noch

g ([0, 2]) \subseteq [0, 2]

zeigen, damit
die Iteration nicht von vornherein aus dem Ruder läuft.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1503332

1503170