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Nullteiler finden - Methode vollständig?

Universität / Fachhochschule

Polynome

Ringe

Tags: polynom, Ring

student11 aktiv_icon

15:40 Uhr, 17.02.2012

Ich wollte die Nullteiler von GF(3)

[

x] x^{2} + 2 x

finden (Polynomring mit Koeffizienten aus GF(3) modulo

x^{2} + 2 x,

also Ring mit 9 Elementen)

Ich habe dazu

x^{2} + 2 x

faktorisiert, und erhalte:

x (x + 2)

Ich weiss also, dass

x

und

x + 2

garantiert Nullteiler sind.
Wenn ich nun noch mit 2 multipliziere, erhalte ich alle möglichen Nullteiler??

2 x, 2 x + 1, x, x + 2

sind also alle Nullteiler?

Ist dies immer vollständig, wenn so vorgegangen wird? Ist dies eine effiziente Methode?

Ich kenne als andere Möglichkeiten Euklid (ggT berechnen, wenn dieser Konstant ist, handelt es sich nicht um einen Nullteiler, da die Polynome teilerfremd sind)
und Durchmultiplizieren: Alle Produkte bilden, die Faktoren der 0-Produkte sind Nullteiler (Nachteil: Sehr ineffizient bei vielen Polynomen. )

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

student11 aktiv_icon

15:51 Uhr, 17.02.2012

Diese Methode scheint für mich eigentlich gut zu funktionieren, solange man das Polynom gut faktorisieren kann... Doch das sollte immer gehen, ausser es ist irreduzibel. Dann handelt es sich aber sowieso um einen Körper und es gibt keine Nullteiler mehr?

Beispielsweise sollte ich die Elemente von GF(3)

[

⋆_{x^{2} + 2}

aufzählen, also alle Elemente des Rings GF(3)

[

x](x^2+2), die zu

x^{2} + 2

teilerfremd sind, somit also ein Körper. (sorry wegen der Darstellung)

Dazu habe ich wieder dieselben 9 Polynome zur Verfügung:

{0,1,2, x, x + 1, x + 2,2 x,2 x + 1,2 x + 2}

0,1,2

haben immer einen konstanten ggT tu

x^{2} + 2,

also sind sie sicher in diesem Körper.

Für alles weitere, sollte ich

x^{2} + 2

faktorisieren. Lässt sich

x^{2} + 2

nicht aufspalten, so ist es irreduzibel, und alle Polynome sind im Körper.
Ich suche Nullstellen:

x = 1

ist eine Nullstelle, also kann ich

(x^{2} + 2) : (x + 2) = x + 1,

also

x^{2} + 2 = (x + 1) (x + 2)

Somit sind

x + 1

und

x + 2

Nullteiler. aber auch

2 x + 2

und

2 x + 1

sind Nullteiler, da sie Vielfache der ersten beiden sind.

Somit sind im Körper folgendene Elemente:

{0,1,2, x,2 x}

Korrekt so?

[

Analog könnte ich auch dies wieder mit Euklid lösen, doch ist das empfehlenswert??]

Wenn ich bei

x^{2} + 2

(da

d \leq 3)

keine Nullstelle gefunden hätte, dann wäre die oben aufgezählte Menge direkt ein Körper mit Addition, Multiplikation, da das Polynom irreduzibel wäre?

student11 aktiv_icon

15:51 Uhr, 17.02.2012

[

⋆_{x^{2} + 2}

aufzählen, also alle Elemente des Rings GF(3)

[

x](x^2+2), die zu

x^{2} + 2

teilerfremd sind, somit also ein Körper. (sorry wegen der Darstellung)

Dazu habe ich wieder dieselben 9 Polynome zur Verfügung:

{0,1,2, x, x + 1, x + 2,2 x,2 x + 1,2 x + 2}

0,1,2

haben immer einen konstanten ggT tu

x^{2} + 2,

also sind sie sicher in diesem Körper.

Für alles weitere, sollte ich

x^{2} + 2

faktorisieren. Lässt sich

x^{2} + 2

nicht aufspalten, so ist es irreduzibel, und alle Polynome sind im Körper.
Ich suche Nullstellen:

x = 1

ist eine Nullstelle, also kann ich

(x^{2} + 2) : (x + 2) = x + 1,

also

x^{2} + 2 = (x + 1) (x + 2)

Somit sind

x + 1

und

x + 2

Nullteiler. aber auch

2 x + 2

und

2 x + 1

sind Nullteiler, da sie Vielfache der ersten beiden sind.

Somit sind im Körper folgendene Elemente:

{0,1,2, x,2 x}

Korrekt so?

[

Analog könnte ich auch dies wieder mit Euklid lösen, doch ist das empfehlenswert??]

Wenn ich bei

x^{2} + 2

(da

d \leq 3)

keine Nullstelle gefunden hätte, dann wäre die oben aufgezählte Menge direkt ein Körper mit Addition, Multiplikation, da das Polynom irreduzibel wäre?

hagman aktiv_icon

17:41 Uhr, 17.02.2012

Der Körper enthält natürlich nicht Polynome als Elemente, sondern Restklassen von Polynomen.

Abgesehen davon ist

K [X] / (f)

in der Tat genau dann ein Körper, wenn

f

irreduzibel ist (und nicht konstant).

student11 aktiv_icon

17:43 Uhr, 17.02.2012

Gut, danke.. :-)

Welche Methode würdest du mir denn empfehlen? Ist denn das Faktorisieren vollständig, um alle Polynome der Restklasse zu finden, die Nullteiler sind?

hagman aktiv_icon

18:53 Uhr, 17.02.2012

Wenn du

K [X] / (f)

betrachtest und die Restklasse

g + (f)

eines Polynoms

g

mit

d e g (g) < d e g (f),

dann kann dies nur dann Nullteiler sein, wenn es ein

h

gibt, so dass

g \cdot h

Vielfaches von

f

ist, ohne dass

h

Vielfaches von

f

wäre:

g \cdot h = q \cdot f

.
Wären

g

und

f

teilerfremd, so

u \cdot g + v \cdot f = 1

für geeignete

u, v \in K [X]

.
Dann

u \cdot q \cdot f = u \cdot g \cdot h = h - v \cdot f \cdot h,

also

h = (u \cdot q + v \cdot h) \cdot f

im Widerspruch dazu, dass

h

kein Vielfaches von

f

sein sollte.
Also sind

g

und

f

nicht teilerfremd.
Ist umgekehrt

g

Vielfaches eines echten Teilers von

f,

so ergibt sich bei Multiplikation mit dem Koteiler ein Vielfaches von

f,

mithin ist

g + (f)

dann Nullteiler in

K [X] / (f)

.

Nullteiler entsprechen also genau den Restklassen von Vielfachen von Faktoren von

f

. Insofern ist das Auffinden aller Nullteiler ziemlich Äquivalent zum Faktorisieren von

f

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