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Numerik, Fixpunktiteration
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Fixpunktiteration
 
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Hallo, ich habe hier folgende Aufgabe vorliegen: Gesucht seien die Lösungen des Polynoms . Man weiß natürlich dass die Lösungen 1 und -5 sind. Die Lösungen sollen aber durch eine Fixpunktiteration bestimmt werden. Hierzu gibt es z.B. folgende Drei Möglichkeiten das obige Problem in die Fixpunktform zu bringen: 1) 2) 3) Man soll diese Iterationen Analysieren. Mir ist bekannt dass für eine Konvergenz folgende Bedingung erfüllt sein muss: Daher bin ich hergegangen und habe die Iterationsvorschriften differenziert, den Betrage gebildet und geprüft wann diese kleiner als 1 sind. ich erhalte: - - - Ich habe dann in Excel mir paar Iterationsschritte für Anfangswerte aus dem Intervall berechnet und es stellt sich heraus dass die Iteration auch für Werte konvergiert die nicht aus diesem Intervall sind. Frage: 1) Die Obige Bedingung liefert mir also nur ein Intervall, in dem es auf JEDEN FALL konvergieren muss. Sehe ich das richtig? Es KÖNNTE aber Unter Umständen auch für andere Werte funktionieren?! 2) Sehe ich dann auch an diesem Intervall welches der beiden Lösungen ich "erwische"? Ich ging zunächst davon aus, dass ich im ersten Fall beispielsweise die 1 erwische, da diese im Intervall liegt und außerdem ja auch gilt? Ich würde mich auf Antworten sehr freuen Gruß R. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, > 1) > Die Obige Bedingung liefert mir also nur ein Intervall, in dem es auf JEDEN FALL konvergieren muss. Sehe ich > das richtig? Es KÖNNTE aber Unter Umständen auch für andere Werte funktionieren?! Korrekt. > 2) > Sehe ich dann auch an diesem Intervall welches der beidne Lösungen ich "erwische"? > Ich ging zunächst davon aus, dass ich im ersten Fall beispielsweise die 1 erwische, dada diese im INtervall liegt > und außerdem ja auch Phi(x∗)=x∗ gilt? Liegt eine Lösung nicht im Intervall, besteht höchstens in Anlehnung an 1) die Möglichkeit, diese Lösung zu erwischen. Aber nur in Ausnahmefällen. Wenn das Zielintervall Teilmenge des Definitionsintervalls ist, geht es sicher nicht. Mfg Michael |
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1) habe verstanden: Es gilt also: konvergenz; Die Umkehrung gilt nicht. 2) Kannst du mir erklären was genau du mit Ziel und Definitionsintervall meinst? Vielen Dank schonmal für deine Antwort. |
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Hallo, denke dir einfach Definitions- und Zielmenge (einer Funktion). Mfg Michael |
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Ich meinte eigentlich eher von welcher Funktion man sich den Def/Wertebereich anschauen soll? Von ? Und was kann man dann daraus folgern? Es ist ja Wenn ich mich nicht irre. Und es ist ja jedesmal Zielbereich Teilmenge des Definitionsbereiches? Und daraus kann ich nun was folgern? Wäre sehr froh über eine Antwort. Vielen Dank für die Hilfe bis jetzt |
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Hallo, > Ich meinte eigentlich eher von welcher Funktion man sich den Def/Wertebereich anschauen soll? Von Φ? Welche Alternativen hast du denn noch anzubieten? > ich erhalte: > - x∈(−2,2) > - x∈(−∞,0.25)∪(2.25,∞) > - x∈(−5,5) Vielleicht sollten wir diese Intervalle als Definitionsmengen betrachten. Als Zielmengen sollte man anschauen. Insofern ist Bildmenge der bessere Begriff. Sei dasjenige Intervall, innerhalb dessen gilt. Gilt dann noch , dann ist Konvergenz garantiert und der Grenzwert muss in enthalten sein. So in etwa wären die Voraussetzungen für den reellen banachschen Fixpuntsatz. Mfg Michael |
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D.h. und da erwische ich auf jeden Fall den Fixpunkt bei 1 (und nicht 5) Hier gilt das nichts, d.h. ich muss mir einen glücklichen Startwert wählen aber garantiert ist nichts (Abgesehen davon ist die zweite Iteration gar keine äquvialente Umformulierung des Nullstellenproblems der Aufgabe, wie ich eben bemerkt habe) Auch hier ist es nicht erfüllt, d.h. nur ein glücklich gewählter Startwert führt mich zu einem meiner Fixpunkt(e)? Ihc hoffe dass ich es so langsam verstanden habe. Vielen Dank |
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