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Numerik - Maschinenzahlen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

anonymous

18:38 Uhr, 22.04.2020

Folgende Aufgabe:

Die folgenden nicht-negativen Maschinenzahlen seien in der Basis

b = 10

mit Mantissenlänge

m = 5,

Exponent

E \in ℤ

und Normalisierung

d_{0} \neq 0

gegeben,

d . h

. Zahlen

x

der Art

x = 10^{E} \cdot \sum_{k = 0}^{4} d_{k} \cdot 10^{- k}

mit

d_{0} \in {1, ..., 9}

und

d_{k} \in {1, ..., 9}

für

k = 1, 2, 3, 4

Berechnen Sie unter Verwendung der üblichen Rundung^1 die Ausdrücke:

(101.27 \cdot 101,27) - (101.17 \cdot 101,17)

und

(101.27 + 101,17) - (101.27 - 101,17)

[

Die Rechenoperationen

\cdot, +

und - sind in einem Quadrat

]

Welche der beiden Alternativen liefert das genaue Ergebnis und warum?

Zu

^1 :

Zur Approximation beliebiger reeller Zahlen durch Maschinenzahlen Betrachen wir die Rundungsabbildung □:

ℝ \to ℝ

für Zahlen in der Darstellung

x = s (\sum_{i = 1}^{\infty} d_{i} b^{- i}) b^{e}

durch

x = s (\sum_{I = 1}^{\infty} d_{i} 2^{- i}) 2^{e} \to

□(x)

= {s (\sum_{i = 1}^{m} d_{i} 2^{i - 1}) 2^{e}

für

d_{m + 1} = 0

und

s (\sum_{i = 1}^{m} d_{i} 2^{i - 1} + 2^{- m}) 2^{e}

für

d_{m + 1} = 1

- - - -

Okay, heute war die erste Vorlesung. Bevor ich genaueres über die Lösung sprechen möchte, würde ich gerne erstmal die Basics klären.

Was genau verstehen wir unter Maschinenzahlen? Wie ist die Basis definiert? Woher kommt die? Die Mantissenlänge: Ist das die Länge der Zahl oder der Nachkommestellen? Was hat es mit dem Exponenten und der Normalisierung auf sich?

LG

Edit: Ich verstehe auch noch nicht so genau, was wir hier machen, vorhaben und worauf wir hinaus wollen.

Ich habe verstanden, dass wir, meine ich zumindest, diese Zahlen, die wir dort im Zehnersystem gegeben haben, ins Binärsystem übertragen wollen? Und wir müssen irgendwo runden, allerdings weiß ich noch nicht genau, wie das mit dem Runden funktioniert bzw. wie gerundet wird (Also generell, was es damit auf sich hat).

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

12:06 Uhr, 23.04.2020

Hallo,

Deine Fragen umfassen den kompletten Inhalt einer Vorlesungsstunde. Das wird wohl kaum jemand alles in einen kurzen Forumsbeitrag zusammenfassen können. Da wirst Du wohl kleinteilige fragen müssen. Zum Beispiel auch, was die Operationen "im Quadrat" sein sollen.

Bevor du aber das konkrete Beispiel bearbeitest, solltest Du prüfen, ob Dir da nicht ein Druckfehler unterlaufen ist.

Gruß pwm

anonymous

12:31 Uhr, 23.04.2020

Okay, betrachten wir folgende Aufgabe:

(101,27 \cdot 101,27) - (101,17 \cdot 101,17)

Was ich verstanden habe ist, dass wir mehr oder weniger die Zahlen alle erstmal umwandeln müssen.

So ist:

101,27 = 101,27 \cdot 10^{0}

101,27 = 10,127 \cdot 10^{1}

101,27 = 1,0127 \cdot 10^{2}

101,27 = 0,010127 \cdot 10^{3}

Okay, das habe ich verstanden, analog auch mit

101,17

Das Problem ist jetzt nur:

Wie rechne ich weiter? Was bringt mit diese Umstellung? Was muss beachtet werden? Wie weit muss ich überhaupt umstellen etc.

Ich soll am Ende ja sagen, welche der beiden Rechnungen das genauere Ergebnis liefert. Was genau versteht man denn überhaupt unter dem "genausten" Ergebnis?

Ich werde ja irgendwo runden müssen, aber wo?

LG

anonymous

12:31 Uhr, 23.04.2020

Okay, betrachten wir folgende Aufgabe:

(101,27 \cdot 101,27) - (101,17 \cdot 101,17)

Was ich verstanden habe ist, dass wir mehr oder weniger die Zahlen alle erstmal umwandeln müssen.

So ist:

101,27 = 101,27 \cdot 10^{0}

101,27 = 10,127 \cdot 10^{1}

101,27 = 1,0127 \cdot 10^{2}

101,27 = 0,010127 \cdot 10^{3}

Okay, das habe ich verstanden, analog auch mit

101,17

anonymous

16:11 Uhr, 23.04.2020

Hallo
Um endlich mal die vielen Abschreibe-Fehler richtig zu stellen...
Höchstwahrscheinlich sollte die Aufgabenstellung doch heißen:

d_{k}

aus der Menge

{0; ...; 9}

für

k = 1,2,3,4

(101.27 \cdot 101.27) - (101.17 \cdot 101.17)

und

(101.27 + 101.17) \cdot (101.27 - 101.17)

"Ich habe verstanden, dass wir, meine ich zumindest, diese Zahlen, die wir dort im Zehnersystem gegeben haben, ins Binärsystem übertragen wollen?"
Das wird auch Gegenstand numerischer Mathematik bzw. Datenverarbeitung sein. Aber keine Sorge, das ist nicht Gegenstand dieser Aufgabe. Wir dürfen diese Aufgabe jetzt einfach mal schön im Dezimalsystem abhandeln und durchdenken.

"Was genau verstehen wir unter Maschinenzahlen?"
Das genau ist Gegenstand der ersten zwei Drittel der Aufgabenerläuterung. Hier wird versucht, dir und uns sehr formal ausführlich zu definieren, wie die Maschinenzahl aussieht.

z . B

. die Zahl

101.27

wir gemäß dieser Festlegung in dieser Maschine eindeutig als

1.0127 \cdot 10^{2}

dargestellt,
also

10^{E} \cdot \sum_{k = 0}^{4} d_{k} \cdot 10^{- k}

mit

E = 2

d_{0} = 1

d_{1} = 0

d_{2} = 1

d_{3} = 2

d_{4} = 7

So, nun mach dir mal klar, wie diese Maschine die (Maschinen-) Zahl

101.17

darstellt.

Dann mach dir klar, wie die Maschine die folgenden Zahlen darstellt:

(101.27 \cdot 101.27)

(101.17 \cdot 101.17)

(101.27 \cdot 101.27) - (101.17 \cdot 101.17)

(101.27 + 101.17)

(101.27 - 101.17)

(101.27 + 101.17) \cdot (101.27 - 101.17)

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