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Numerik Umformung zur numerisch stabilen Form

Universität / Fachhochschule

Tags: auslöschung, Numerik, Stabilität

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13:27 Uhr, 18.05.2023

Hallo Leute,

ich soll folgende Ausdrücke so umformen, sodass keine Auslöschung mehr auftritt.
Da ich völliger Neuling auf dem Gebiet der Numerik bin, habe ich zuerst mal nachgeschaut was Auslöschung ist. Das habe ich auch verstanden, doch weiss ich dadurch leider überhaupt nicht wie ich an solche Aufgaben herangehen soll. Ich habe dann einfach mal einige Umformungen der Terme gemacht, doch hat das alles nix gebracht.

Kann mir da jemand sagen wie ich vorgehen könnte?

Vielen Dank schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

13:39 Uhr, 18.05.2023

Hallo
zu

c)

Nimm mal das Beispiel

x = 1000

.
Na wie sähe die Rechnung aus?
An welcher Stelle tritt 'Auslöschung' auf?
Tipp: dritte binomische GLeichung

zu

d)

Nimm mal das Beispiel

x = 0.1

.
Na wie sähe die Rechnung aus?
An welcher Stelle tritt 'Auslöschung' auf?
Tipp: Reihenentwicklung des

cos

e)

Nimm mal das Beispiel

x = 1000

.
Na wie sähe die Rechnung aus?
An welcher Stelle tritt 'Auslöschung' auf?
Tipp: dritte binomische GLeichung

+

Logarithmengesetze

HAL9000

14:41 Uhr, 18.05.2023

Bei (d) gibt es auch noch einen anderen Tipp für die numerische Auslöschung bei

x \to 0

: Erweitern mit

(1 + \cos (x))

und Nutzung von

1 - \cos^{2} (x) = \sin^{2} (x)

im Zähler:

\frac{1 - \cos (x)}{x} = \frac{\sin^{2} (x)}{x (1 + \cos (x))}

Alternativ kann man auch

\cos (x) = 1 - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})

nutzen:

\frac{1 - \cos (x)}{x} = \frac{2 \sin^{2} (\frac{x}{2})}{x}

.

Was den Vorteil hat, ebenfalls nur eine Winkelfunktionsberechnung zu brauchen (wie auch links).

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19:12 Uhr, 18.05.2023

Guten Abend,

Vielen Dank erstmal für eure Antworten,

dank calc007 habe ich nun eine Umformung für

c)

gefunden.

Bei

d)

habe ich mir deinen ersten Lösungsweg angeschaut @Hal9000 und ich verstehe nur nicht wie man im Zähler von 1−cos2(x) auf

sin 2 (x)

kommt.

Für

d)

wäre ich um eine Umformung dankbar, da ich immer noch nicht selber drauf komme

\frac{:}{}

HAL9000

19:43 Uhr, 18.05.2023

i) Den sogenannten trigonometrischen Pythagoras

\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1

sollte man nun wirklich kennen!

ii)

\cos (x) = 1 - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})

geht beispielsweise aus dem Kosinus-Additionstheorem hervor.

P.S.: Keine Fragen zu e) ? Na dann ist ja gut.

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20:39 Uhr, 18.05.2023

Nun wird mir das ganze klar, danke für die Erläuterung.
Hast du vielleicht eine Umformung für den dritten Term?
Vielen Dank!

HAL9000

21:15 Uhr, 18.05.2023

Also doch zu e) ?

Zunächst dies: Für negative

x

ist der Term numerisch Ok. Für positive

x

hat calc007 schon den richtigen Tipp gegeben: Dritte Binomische Formel, d.h. durch eine passende Erweiterung:

D.h. es wird

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

für

a = \sqrt{x^{2} + 1}

und

b = x

genutzt, das ergibt

\ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = \ln (\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + x}) = \ln (1) - \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) = - \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x)

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21:22 Uhr, 19.05.2023

Hallo zusammen,

Vielen Dank an euch beiden @calc007 @Hal9000 für eure Hilfe

calc007

21:42 Uhr, 19.05.2023

Als Praktiker, wenn für große Werte

x

die Genauigkeit immer noch ausreichend ist, kann man sogar die Näherung erwägen:

- ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x)

=~ca.~=

- ln (\sqrt{x^{2} + 0} + x) = - ln (2 \cdot x)

1571468

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