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Numerische Differenziation; Diskretisierungsfehler

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Differentiation

Folgen und Reihen

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Folgen und Reihen, Gewöhnliche Differentialgleichungen

Mathismydrug

00:07 Uhr, 16.02.2019

Guten Abend, von folgender Differenzenformel soll ich die Fehlerordnung bestimmen:

f' (x) ≅

Df(x,h)

= \frac{2 f (x + h) + 3 f (x) - 6 f (x - h) + f (x - 2 h)}{6 h}

Als erstes müsste ich ja

2 f (x + h), 6 f (x - h)

und

f (x - 2 h)

als Taylorpolynom darstellen. Da gehts schon los, wann brech ich das Taylorpolynom ab? Anschließend muss ich die Polyome dann wieder in Df(x,h) einsetzen und nach Df(x,h)-f'(x) auflösen, um dann die höchste Fehlerordnung abzulesen, richtig?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:20 Uhr, 16.02.2019

Hallo,

ja, Du musst alle Terme durch ein Taylor-Polynom ersetzen und in die Differenzen

f' (x) -

Df(x,h) einsetzen. Die benötigte Ordnung lässt sich nicht genau vorhersagen. Als Anhaltspunkt: Die Formel enthält 4 Koeffizienten, also kann man damit die Taylor-Terme der Ordnung

0,1,2,3

eliminieren, man braucht also wahrscheinlich alles bis zur Ordnung 4. Genau weiß man es erst, wenn man es gemacht hat.

Gruß pwm

Mathismydrug

14:28 Uhr, 16.02.2019

Alles klar, Vielen Dank für die Antwort!

Mathismydrug

15:36 Uhr, 16.02.2019

Soo, ich hab's mal probiert:

Taylorpolynome:

f (x + h) = f + f' h + \frac{1}{2} f'' h^{2} + \frac{1}{6} f''' h^{3} + \frac{1}{24} f^{4} h^{4} . .

| \cdot 2

f (x - h) = f - f' h + \frac{1}{2} f'' h^{2} - \frac{1}{6} f''' h^{3} + \frac{1}{24} f^{4} h^{4} . .

| \cdot (- 6)

f (x - 2 h) = f - 2 f' h + 2 f'' h^{2} - \frac{4}{3} f''' h^{3} + \frac{2}{3} f^{4} h^{4} . .

f (x) = f | \cdot 3

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

0 + 6 f' h + 0 + 0 + \frac{1}{2} f^{4} h^{4} | \cdot \frac{1}{6 h}

Df(x,h)=

f' + \frac{1}{12} f^{4} h^{3}

|Df(x,h)

- f' x | = \frac{1}{12} f^{4} h^{3} - \to

Fehlerordnung

k = 3

Ist soweit alles richtig?

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