Nur 1 Eigenwert bei 2x2 Matrix?

Hallo liebe Community,

ich habe folgende Frage:

Gegeben ist die Matrix ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)}$

Gesucht sind die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren.

Bin folgendermaßen vorgegangen:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\right(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array})-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\left)\right)=0; \\ \mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}& 0\\ 1& -\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=0; \\ (-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})(-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0; \\ {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=0; \\ {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1;2}=0;} \end{gathered}$$

Daraus folgt der Eigenvektor:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=0; \\ \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0; \\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}; \\ \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)=\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right);\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{.}} \end{gathered}$$

Ich habe also einen 2-Fach auftretenden Eigenwert 0. Meine Formelsammlung sagt, dass bei einem K-Fach auftretenden Eigenwert mindestens ein verschiedener Eigenwert auftritt, maximal K-Verschiedene.

Bedeutet dies, dass ich den Fall habe, dass ich nur einen verschiedenen Eigenwert bekomme, und dadurch auch nur einen Eigenvektor?<br id="elCustomTag2" /> <br id="elCustomTag2" /> Diesen Fall hatte ich bislang noch nicht und wollte fragen, ob das so korrekt ist.<br id="elCustomTag2" /> <br id="elCustomTag2" /> Danke schonmal im vorraus!

Okay, abgesehen von meiner falschen Formulierung, ist das gerechnete dann soweit richtig?