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Nutzenmaximierung

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Tags: Partielle Ableitung, Partielle Differentialgleichungen

studente97 aktiv_icon

18:00 Uhr, 11.02.2019

Hallo,

folgendes Problem:

f (B, P) = P^{0,5} \cdot B^{0,5}

P =

Pizza;

B =

Bier

Eine Einheit Pizza kostet 2€ und eine Einheit Bier kostet ebenfalls 2€. Einkommen = 100€.

Frage: Ich soll die nutzenmaximierende Menge des Konsumgutes Pizza bestimmen unter Beachtung der Einkommensrestriktion bestimmen.

Ich hätte jetzt daran gedacht, partiell nach

P

abzuleiten und die Ableitung dann

= 0

zu setzen und das Maximum zu suchen. Aber wie baue ich das Einkommen ein? Das ist meine Frage... Freue mich über Antworten.

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:30 Uhr, 11.02.2019

Hallo,

du hast ja noch die Budgetgerade

100 = 2 P + 2 B

. Diese kannst du z.B. nach P auflösen.

P = 50 - B

. Nun den Term für P in die zu maximierende Funktion einsetzen.

f (B) = (50 - B)^{0, 5} \cdot B^{0, 5}

Nun diese Funktion nach B ableiten und 0 setzen.

Lagrangemethode wäre auch anwendbar gewesen.

Gruß

pivot

studente97 aktiv_icon

20:23 Uhr, 11.02.2019

Ja, habe anfangs auch mit Lagrange gerechnet.

Mit der Lagrange-Methode sähe das Ganze ja so aus:

L (P, B) = P^{0,5} \cdot B^{0,5} - Λ (2 P + 2 B - 100)

Ich leite ja jetzt partiell nach

P

und

B

ab. Dann hab ich ja:

L' (P) = 0,5 P^{- 0,5} \cdot B^{0,5} - 2 Λ

L' (B) = 0,5 P^{0,5} \cdot B^{- 0,5} - 2 Λ

100 = 2 P + 2 B

1) L' P = 0

2) L' B = 0

Nur weiß ich jetzt leider nicht, wie ich die Gleichungssysteme richtig lösen soll. Komme gerade wegen den Exponenten immer durcheinander...

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20:44 Uhr, 11.02.2019

Wenn du im Prinzip eine Cobb-Douglas Funktion hast, dann ist das eigentlich relativ einfach.

L^{ʹ} (p) = 0, 5 P^{- 0, 5} \cdot B^{0, 5} - 2 Λ = 0

L^{ʹ} (p) = 0, 5 P^{0, 5} \cdot B^{- 0, 5} - 2 Λ = 0

Nun die beiden

Λ

-Terme durch Addition von

2 Λ

auf die rechte Seite bringen.

0, 5 P^{- 0, 5} \cdot B^{0, 5} = 2 Λ

0, 5 P^{0, 5} \cdot B^{- 0, 5} = 2 Λ

Jetzt die erste Gleichung durch die zweite Gleichung teilen.

\frac{0, 5 P^{- 0, 5} \cdot B^{0, 5}}{0, 5 P^{0, 5} \cdot B^{- 0, 5}} = \frac{2 Λ}{2 Λ}

Auf der linken Seite kann man auf jeden Fall die 0,5 kürzen und auf der rechten Seite kann man natürlich auch kürzen.

\frac{P^{- 0, 5} \cdot B^{0, 5}}{P^{0, 5} \cdot B^{- 0, 5}} = 1

Jetzt die Potenzgesetze anwenden, insbesondere

\frac{1}{x^{c}} = x^{- c}

. Äquivalent

\frac{1}{x^{- c}} = x^{c}

\frac{P^{- 0, 5}}{P^{0, 5}} = P^{- 0, 5} \cdot P^{- 0, 5} = P^{- 1} = \frac{1}{P}

\frac{B^{0, 5}}{B^{- 0, 5}} = B^{0, 5} \cdot B^{0, 5} = B

Somit ergibt sich insgesamt

\frac{B}{P} = 1 \Rightarrow

B=P

studente97 aktiv_icon

14:00 Uhr, 12.02.2019

Hey, cool, danke schön.

Wäre so nicht drauf gekommen :-D)

Gruß

studente97 aktiv_icon

14:01 Uhr, 12.02.2019

Danke :-)

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14:03 Uhr, 12.02.2019

Gerne. Freut mich, dass alles klar ist. Ich habe es auch nur irgendwann mal gezeigt bekommen.

studente97 aktiv_icon

14:11 Uhr, 12.02.2019

Ja, ich bin leider kein Mathe Genie :-D) Gehöre eher zu der Kategorie, dass ich viel lerne, aber das meiste übersehe...

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14:14 Uhr, 12.02.2019

Wenn es am Ende funktioniert ist es ja alles gut.

studente97 aktiv_icon

14:29 Uhr, 12.02.2019

Wenn ich deine erste Methode anwende, komm ich wieder nicht auf

B,

wenn ich

f' (B) = 0

setze... ich verzweifle immer an den Exponenten...

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14:31 Uhr, 12.02.2019

Ich habe es auch noch nicht durchgerechnet. Hast du denn die Produktregel verwendet?

studente97 aktiv_icon

14:41 Uhr, 12.02.2019

Ja,

zusammen mit der Kettenregel wäre ich hier:

f' (B) = - 0,5 \cdot {(50 - B)}^{- 0,5} \cdot B^{0,5} + {(50 - B)}^{0,5} \cdot 0,5 B^{- 0,5}

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14:41 Uhr, 12.02.2019

Unter Verwendung der Produktregel und für den Klammerausdruck der Kettenregel erhalte ich für die Ableitung

f^{ʹ} (B) = 0, 5 \cdot (50 - B)^{- 0, 5} \cdot B^{0, 5} \cdot (- 1) + (50 - B)^{0, 5} \cdot 0, 5 \cdot B^{- 0, 5} = 0

Das negative Vorzeichen (-1) nach vorne ziehen.

- 0, 5 \cdot (50 - B)^{- 0, 5} \cdot B^{0, 5} + (50 - B)^{0, 5} \cdot 0, 5 \cdot B^{- 0, 5} = 0

Jetzt

0, 5 \cdot (50 - B)^{- 0, 5} \cdot B^{0, 5}

auf beiden Seiten addieren.

(50 - B)^{0, 5} \cdot 0, 5 \cdot B^{0, 5} = 0, 5 \cdot (50 - B)^{- 0, 5} \cdot B^{0, 5}

Ab diesem Schritt sollte es funktionieren.

Edit: Deine Ableitung sieht gut aus. Topp!

studente97 aktiv_icon

16:24 Uhr, 12.02.2019

Hey, also wenn ich alles richtig gemacht habe, komme ich auf

B = 25

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16:27 Uhr, 12.02.2019

Perfekt,

B^{*} = 25

. Und aus der Nebenbedingung ergibt sich dann der Wert für

P^{*}

.

Bist du denn mit Lagrange nicht auf die Werte gekommen?

studente97 aktiv_icon

16:32 Uhr, 12.02.2019

Ok, also

P \cdot = 25

.

Danke schön!

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16:41 Uhr, 12.02.2019

Genau. Gerne.

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