Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Nutzenmaximierung mit Lagrange

Nutzenmaximierung mit Lagrange

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Lagrange, Nutzenmaximierung, Sonstig

Laura1908 aktiv_icon

19:10 Uhr, 16.07.2019

Hallo, ich hänge jetzt schon länger an einer Aufgabe zum Thema Nutzenmaximierung durch das Lagrangeverfahren.

Nutzenfunktion:

x^{0,5} + y^{0,5}

Nebenbedingung: p×x+q×y=m

Lösungen:

x = \frac{m}{p + q} \cdot \frac{q}{p}

y = \frac{m}{p + q} \cdot \frac{p}{q}

Kann mir jemand beim Lösungsweg helfen?

Liebe Grüße:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Atlantik aktiv_icon

19:29 Uhr, 16.07.2019

Mit Lagrange kann ich es nicht, aber so:

H B :

f (x, y) = \sqrt{x} + \sqrt{y}

soll maximal werden.

N B :

p \cdot x + q \cdot y = m \to q \cdot y = m - p \cdot x

y = \frac{m}{q} - \frac{p}{q} \cdot x

f (x) = \sqrt{x} + \sqrt{\frac{m}{q} - \frac{p}{q} \cdot x}

f

´ (

x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} - \frac{\frac{p}{q}}{2 \cdot \sqrt{\frac{m}{q} - \frac{p}{q} \cdot x}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} - \frac{p}{2 \cdot q \cdot \sqrt{\frac{m}{q} - \frac{p}{q} \cdot x}}

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} - \frac{p}{2 \cdot q \cdot \sqrt{\frac{m}{q} - \frac{p}{q} \cdot x}} = 0

\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{p}{q \cdot \sqrt{\frac{m}{q} - \frac{p}{q} \cdot x}} |^{2}

\frac{1}{x} = \frac{p^{2}}{q^{2} \cdot (\frac{m}{q} - \frac{p}{q} \cdot x)}

Nun nach

x

auflösen:

q^{2} \cdot (\frac{m}{q} - \frac{p}{q} \cdot x) = p^{2} \cdot x

m \cdot q - p \cdot q \cdot x = p^{2} \cdot x

p^{2} \cdot x + p \cdot q \cdot x = m \cdot q

x = \frac{m \cdot q}{p^{2} + p \cdot q}

...

.

mfG

Atlantik

pivot aktiv_icon

19:48 Uhr, 16.07.2019

Hallo,

die Lagrangefunktion ist

L = x^{0, 5} + y^{0, 5} + λ \cdot (m - p \cdot x - q \cdot y)

Nun die drei partiellen Ableitungen bilden und diese gleich 0 setzen.

L_{x} = 0, 5 \cdot x^{- 0, 5} - p = 0 \Rightarrow 0, 5 \cdot x^{- 0, 5} = p \cdot λ (1)

L_{x} = 0, 5 \cdot y^{- 0, 5} - q = 0 \Rightarrow 0, 5 \cdot y^{- 0, 5} = q \cdot λ (2)

L_{λ} = m - p \cdot x - q \cdot y = 0 (3)

(1) durch (2) teilen.

λ

kann auf der rechten Seite gekürzt werden. Dann nach

y

auflösen. Den Term für

y

in (3) einsetzen und den Term für

x

bestimmen.

Gruß

pivot

Laura1908 aktiv_icon

19:51 Uhr, 16.07.2019

Ja das mach ich auch die ganze Zeit aber ich komme einfach nicht auf die Richtige Lösung. Bei anderen Aufgaben mit Lagrange habe ich keine Probleme, nur bei dieser komm ich leider nicht voran.

: (

Laura1908 aktiv_icon

19:53 Uhr, 16.07.2019

Aber danke

pivot aktiv_icon

19:55 Uhr, 16.07.2019

Du kannst gerne deine Rechnung hochladen. Nur dann ist man in der Lage zu sehen wo es hakt.

Dazu am besten einen Screenshot deiner Rechnung erstellen und diesen Screenshot als jpg-Datei abspeichern.

Enano

20:01 Uhr, 16.07.2019

pivot, dir ist zwischenzeitlich zweimal ein