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Nutzenoptimum, -niveau und Lagrange berechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Lagrange Multiplikator, mehrdimensionale Analysis, Nutzenniveau, Nutzenoptimum

anonymer-flamingo aktiv_icon

19:13 Uhr, 09.01.2024

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet

U (x_{1}, x_{2}) =

(6√x_1+6√x_2)^6 . Gegeben sind die Preise der beiden Güter

p 1 = 1.5

und

P 2 = 1

sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I

= 200

. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner
Budgetrestriktion.
Wie hoch ist die Menge

x 1

in diesem Nutzenoptimum?
Wie hoch ist die Menge

x 2

in diesem Nutzenoptimum?
Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator

λ

im Nutzenoptimum?
Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau unter gegebener Budgetrestriktion?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

pivot aktiv_icon

06:16 Uhr, 10.01.2024

Hallo,

wo genau liegt dein Problem?
Weiß jetzt nicht wo ich helfen kann. Das gleiche gilt für deine andere Frage.

Gruß
pivot

anonymer-flamingo aktiv_icon

06:38 Uhr, 10.01.2024

Hallo, ich bräuchte bitte die Lösung für diese Aufgabe. Ich habe es mit Wolfram berechnet aber bin mir unsicher, ob meine Resultate stimmen.
Bei der anderen Frage komm ich leider überhaupt nicht weiter und ich brauche dort ebenfalls dringend die Lösung.

LG

ledum aktiv_icon

15:41 Uhr, 10.01.2024

Welche Lagrangefkt hast du Wolfram denn gegeben?
die schreib uns auf, denn wenn die richtig ist rechnet Wolfram natürlich richtig. warum kannst du die nicht ohne Wolfram lösen?
ledum

pivot aktiv_icon

17:52 Uhr, 10.01.2024

Die Lagrangefunktion ist

L = (x^{1 / 6} + y^{1 / 6})^{6} + λ (200 - 1.5 x - y)

Die partiellen Ableitungen nach

x

und

y

sind:

\frac{\partial L}{\partial x} = (x^{1 / 6} + y^{1 / 6})^{6} \cdot x^{- 5 / 6} - λ \cdot 1.5 = 0 \Rightarrow

(x^{1 / 6} + y^{1 / 6})^{6} \cdot x^{- 5 / 6} = λ \cdot 1.5 (1)

\frac{\partial L}{\partial y} = (x^{1 / 6} + y^{1 / 6})^{6} \cdot y^{- 5 / 6} - λ \cdot 1 = 0 \Rightarrow

(x^{1 / 6} + y^{1 / 6})^{6} \cdot y^{- 5 / 6} = λ (2)

(1) durch (2) teilen:

{(\frac{x}{y})}^{- 5 / 6} = 1.5

Kehrwert und Vorzeichenwechsel im Exponenten heben sich auf.

{(\frac{y}{x})}^{5 / 6} = 1.5

\frac{y}{x} = 1 . 5^{6 / 5} \Rightarrow y = 1 . 5^{6 / 5} \cdot x

Den Term für y in die Nebenbedingung einsetzen.

200 = 1.5 x + 1 . 5^{6 / 5} \cdot x

200 = (1.5 + 1 . 5^{6 / 5}) \cdot x \Rightarrow x^{*} = \frac{200}{1.5 + 1 . 5^{6 / 5}}

usw.

Soweit klar?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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