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ON-Basis aus Eigenvektoren

Universität / Fachhochschule

Tags: Normalform der Quadrik, symmetrischer Operator

Laxel aktiv_icon

16:41 Uhr, 27.07.2013

Hallo,

Ich habe folgende Übungsaufgabe und weiß absolut nicht wie ich das lösen soll:

Bestimmen Sie eine ON-Basis aus Eigenvektoren für den symmetrischen Operator $f_{a}$ .
Bestimmen Sie den Typ und die euklidische Normalform der Quadrik $q_{A}$ (x) = 1.
$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & - 2 \\ 2 & - 2 & 4 \\ - 2 & 4 & - 2 \end{matrix}]$

Die Musterlösung ist:

$O N - B a s i s : {\begin{matrix} \frac{1}{s q r t 5} * (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), & \frac{1}{3 * s q r t 5} * (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}), & \frac{1}{3} \end{matrix} * (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})}$

$N F : 2 x^{2} + 2 y^{2} - 7 z^{2} = 1 T y p : e i n s c h a l i g e s H y p e r b o l o i d$

Ich hätte euch ja gern schon einen Lösungsweg präsentiert, aber ich weiß nichtmal wie ich hier anfangen muss ;(

Könnt ihr mir bitte helfen?

Gruß,

Laxel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

16:46 Uhr, 27.07.2013

Hallo,

bestimme die Eigenwerte und -vektoren.

Mfg Michael

Laxel aktiv_icon

17:52 Uhr, 27.07.2013

Hallo Micha,

Also die Eigenwerte errechne ich ja indem ich: det(A - lambda * E) = 0 rechne.

Dann komme ich auf das charkteristische Polynom von 0 = $- λ^{3} - 3 λ^{2} + 12 λ + 20$

Nun hab ich versucht irgendwie die 3 Nullstellen zu ermitteln, aber ich finde einfach keine erste Nullstelle durch raten um dann zbsp. Polynomdivision durchzuführen.

Naja dann hab ich die Gleichung mal bei Wolfram Alpha eingetippt und das sagt mir, dass hier eine NST irgendwo bei -5,7 liegt und die anderen beiden komplex sind.

Wie kann ich das denn ohne Computer ermitteln?

Laxel

michaL aktiv_icon

18:10 Uhr, 27.07.2013

Hallo,

ich hab ein anderes charakteristisches Polynom 'raus.

Mfg Michael

Laxel aktiv_icon

21:04 Uhr, 27.07.2013

Ok ich hatte ein Lambda vergessen...

Das charakt. Polynom lautet nun: 0= - $λ^{3} - 3 λ^{2} + 24 λ - 28$

Der erste Eigenwert ist $λ_{1}$ =2 (hab ich durch probieren rausbekommen)

mit Hornerschema hab ich die Gleichung auf $λ^{2} + 5 λ - 14 = 0$ gebracht. Dadurch habe ich rausgefunden dass 2 eine doppelte Nullstelle ist und -7 die dritte Nullstelle ist.

Der Eigenvektor für lambda=-7 lautet also: $(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})$

Leider komme ich nicht auf den Eigenvektor von 2.

Hab bisher:

$(A - 2 * E) * \vec{x} = 0$

Das Gleichungssystem würde lauten:

$- x_{1} + 2 x_{2} - 2 x_{3} = 0 2 x_{1} - 4 x_{2} + 4 x_{3} = 0 - 2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} = 0$

Über den Gauß kommt die Matrix $[\begin{matrix} 1 & - 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ herraus.

Wie komme ich nun auf den 2. und 3. Eigenvektor?

Kann mir das mal jemand vormachen? Ich habe Montag Prüfung und möchte das vorher noch kapieren.

Und wenn ich dann die Eigenvektoren alle habe, wie muss ich mit der Aufgabe weitermachen?

Danke,

Laxel

michaL aktiv_icon

21:27 Uhr, 27.07.2013

Hallo,

sieht schon besser aus. ;-)

Aus der Gleichung

x - 2 y + 2 z = 0

sollst du zwei linear unabhängige Lösungen ermitteln.

Wie du siehst, ist das Gleichungssystem unterbestimmt, d.h. es gibt mehr Variablen als Gleichungen. (Die beiden anderen Gleichungen sind Vielfache sieser und damit keine Bereicherung.)

Allgemein kannst du nun so viele Variablen wählen(!), wie die Differenz aus Anzahl Variablen-Anzahl Gleichungen ergibt. In diesem Fall sind es also zwei Variablen!

Diese belegt man mit 0 bzw 1, was die lineare Unabhängigkeit gewährleistet.

Heißt: Wähle einmal

y = 0, z = 1

und einmal

y = 1, z = 0

. Du kannst jeweils

x

passend dazu ausrechnen und erhältst zwei Eigenvektoren.

ACHTUNG!

Hier wollen wir aber Eigenvektoren, die untereinander und zu dem ersten jeweils senkrecht sind.
Wenn du kannst, solltest du gleich zwei Eigenvektoren finden, die dieses Kriterium erfüllen.

Dass ein Vektor zu dem ersten senkrecht sein soll, wird durch (hier) die Gleichung

x - 2 y + 2 z = 0

ausgedrückt, also genau die Gleichung, die du schon hast. Heißt: Beide Vektoren werden (automatisch) senkrecht zum Eigenvektor zum Eigenwert 7 sein.

Mach erstmal, dann sehen wir weiter.

Mfg Michael

Laxel aktiv_icon

10:45 Uhr, 28.07.2013

Guten Morgen Micha,

Also wenn ich die Gleichung

x-2y+2z=0

nach x umstelle und jeweils y=0,z=1 und y=1,z=0 einsetze kommen die beiden Eigenvektoren $\vec{b} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) u n d \vec{c} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ herraus.

(den Eigenvektor zu lambda=-7 hab ich mal $\vec{a}$ genannt)

Übrigens sehe ich gerade, dass du die Gleichung mit -1 multipliziert hast. Davor hieß sie ja -x+2y-2z=0.

Hier wären die Vektoren aber $\vec{b} = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) u n d \vec{c} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ . Welche sind nun richtig.(ich würde sagen es ist egal welche ich nehme, richtig? )

Und wie geh ich weiter vor? Ich hätte gedacht ich fasse jetzt alle Vektoren zu einer Basis zusammen, aber das haut dann nicht mit der Musterlösung hin.

Laxel

michaL aktiv_icon

10:59 Uhr, 28.07.2013

Hallo,

> ich würde sagen es ist egal welche ich nehme, richtig?

Ja, grundsätzlich egal.

Du hast nun die drei linear unabhängigen (Eigen-)Vektoren

(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})

(\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})

und

(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})

.

Diese bilden aber keine ONB. (Die brauchen wir aber!)

Weißt du, wie du das hinkriegst, aus den dreien, eine ONB zu machen?

Mfg Michael

Laxel aktiv_icon

11:46 Uhr, 28.07.2013

Nein das weiß ich leider nicht. Ich habe auch keine verständliche Erklärung dazu gefunden ;(

Also wie bilde ich diese ON-Basis?

Laxel

michaL aktiv_icon

11:57 Uhr, 28.07.2013

Hallo,

du könntest über diese drei von mir zitierten Vektoren Gram-Schmidt drüber laufen lassen.
Wichtig ist dabei nur, dass der Vektor, mit dem du beginnst, der Eigenvektor zum Eigenwert -7 ist.

Mfg Michael

Laxel aktiv_icon

12:33 Uhr, 28.07.2013

Meine errechnete ON-Basis lautet : ${\frac{1}{3} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}), \frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), \frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}$

Allerdings ist der letzte Vektor anders als in der Musterlösung, aber ich denke da gibt es mehrere Möglichkeiten, richtig?

Wenn das nun richtig ist, wie bekomme ich dann die Normalform herraus? (und was ist eine Quadrik? Im Skript steht nur Mathekauderwelsch und woanders habe ich keine verständliche Erklärung gefunden)

Gruß,

Laxel

michaL aktiv_icon

15:35 Uhr, 28.07.2013

Hallo,

> Allerdings ist der letzte Vektor anders als in der Musterlösung, aber ich denke da gibt es mehrere Möglichkeiten, richtig?

Hm, es gibt eigentlich nur zwei Möglichkeiten, den Vektor oder seinen Gegenvektor.

Deine ONB ist keine! Der zweite und der dritte sind nicht(!) orthogonal zueinander!
Hast du das Gram-Schidtsche Orthonormierungsverfahren angewandt?

Mfg Michael

Laxel aktiv_icon

16:32 Uhr, 28.07.2013

Ja habe ich. Wahrscheinlich hab ich mich verrechnet.

Naja aber ich hab es jetzt verstanden wie man drauf kommt.

Jetzt muss ich ja noch die Normalform ermitteln. Wie mache ich das?

michaL aktiv_icon

16:39 Uhr, 28.07.2013

Hallo,

ich befürchte, dass du "nur" normiert hast, aber egal.

Um die Normalform zu bestimmen, reichte es in diesem Fall, die Anzahl der positiven und der negativen Eigenwerte zu bestimmen, da die Quadrik nicht verschoben ist.

Schau dir die Musterlösung an, dort finden sich deine Eigenwerte als Koeffizienten vor den Richtungsvariablen

x

y

bzw.

z

.

Eine Klassifiaktion findet sich unter
http//de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation#Im_R.C2.B3

Mfg Michael

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