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ONB gleich orientiert

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Determinant, Orientierung

EviOriginal aktiv_icon

20:13 Uhr, 25.05.2020

Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen:

Sei

(V, 〈 ., . 〉)

ein Euklidischer Vektorraum und B

:= {v_{1}, . . ., v_{n}}

eine Basis von V . Ferner sei B'

:= {e_{1}, . . ., e_{n}}

die ONB, die aus B durch das Gram-Schmidt-Verfahren entsteht.

Zeigen Sie, dass B und B' gleich orientiert sind.

Mein Ansatz:
Ich muss nach Definition zeigen, dass die Determinante der Übergangsmatrix T von B nach B' positiv ist, also, dass det(

T_{B ʹ, B}) > 0

T_{B ʹ, B} = (B^{- 1}) \cdot B ʹ

folgt:

d e t (T_{B ʹ, B}) = d e t (B^{- 1}) \cdot d e t (B ʹ) = \pm 1 \cdot \frac{1}{d e t B}

nun mein Problem: wie gehe ich weiter vor? Gibt es noch Sätze, Tricks oder Eigenschaften, die ich übersehe? Ich muss ja nun zeigen, dass die Determinante von B immer das gleiche Vorzeichen hat wie die Determinate von B ', welche immer 1 oder -1 ist (haben wir auf dem letzten Blatt gezeigt).
Bringt mir die ONB Eigenschaft