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Ober und Untersumme berechnen

Schüler Gymnasium,

Tags: ergebnis, Gleichung 4. Grades, Obersumme, Untersumme

Matheigel aktiv_icon

15:22 Uhr, 21.09.2020

Hallo,

ich wollte gerade die allgemeine Gleichung der Ober- Untersumme der Funktion

f (x) = x^{4}

aufstellen.
Man hat ein Interval I

[

0;3] und die Streifenanzahl

n

gegeben.

Meine Formel für On lautet jetzt:

On=(3/n)^5

\cdot (1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + ... + n^{4})

Wie kann ich den hinteren Teil nun noch vereinfachen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

15:54 Uhr, 21.09.2020

.

"Wie kann ich den hinteren Teil nun noch vereinfachen?"

meinst du mit dem hinteren Teil dies:

1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + ... + n^{4} =

?

es ist :

\sum_{k = 1}^{n} k^{4} = \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{30} n

und:

lim_{n \to \infty} [{(\frac{3}{n})}^{5} \cdot (1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + ... + n^{4})] = lim_{n \to \infty} [3^{5} \cdot \frac{\frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{30} n}{n^{5}}] = \frac{1}{5} \cdot 3^{5}

Matheigel aktiv_icon

15:58 Uhr, 21.09.2020

Mit dem hinteren Teil meine ich das, was in der Klammer steht, also:

(1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + ... + n^{4})

Dafür müsste es noch eine allgemeine Formel geben.

So gilt beispielsweise für

natürliche Zahlen:

1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n^{2} + n}{2}

rundblick aktiv_icon

16:13 Uhr, 21.09.2020

.

"Dafür müsste es noch eine allgemeine Formel geben."

JA

. .

. siehe

\to

genau diese Formel steht doch oben

(15 : 54

Uhr,

21.09.2020)

zur Besichtigung .. :-)

1^{4} + 2^{4} + 3^{4} + ... + n^{4} = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1) \cdot (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30} = a n^{5} + b n^{4} + c n^{3} + d n^{2} + e n + f

(Werte für

a, b, c, d, e, f

siehe

15 : 54

Uhr,

21.09.2020)

kleine Anmerkung:

die Summe der k-ten Potenzen der ersten

n

natürlichen Zahlen

\to 1^{k} + 2^{k} + 3^{k} + . .

+ n^{k}

kann mit einem Polynom

P_{k + 1} (n) .

. in

n

(vom Grad

k + 1) .

. berechnet werden :

dazu noch noch ein weiteres, bekanntes Beispiel:
Summe der ersten

n

Quadratzahlen (also

k = 2)

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + .

+ n^{2} = P_{3} (n) = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1)}{6} = a \cdot n^{3} + b \cdot n^{2} + c \cdot n + d .

. mit

a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{6}, d = 0

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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