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Ober/Untersumme

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Obersumme, Untersumme

Yeah♥ aktiv_icon

21:03 Uhr, 26.09.2011

Hallo,

Ich verzweifle hier gerade total.
Ich will die Untersumme+ Obersumme von

U 4

bilden bei

y = x^{4} \in I = [- 1; 1]

Ich verstehe einfach nicht, wie das funktionieren soll, obwohl es mir mit zb

[0; 1]

klar wäre.

Also ich hab

U 4 = \frac{2}{4} \cdot

f(?)

Sonst wäre der Wert immer

0,

aber hier, muss es

- 1

sein? Nein irgendwie ja nicht.

Das ist mir echt unklar.

Bei

O 4 = \frac{2}{4} \cdot

f(?)

\frac{2}{4}

ja eigentlich.. aber was dann hier? Dieser Minusbereich verwirrt mich total.

Ich brauch wirklich dringend eure Hilfe

: (

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

21:08 Uhr, 26.09.2011

Du hast das Intervall von

- 1

bis

+ 1 \in 4

Teile geteilt. Also ist jeder Intervall

\frac{1}{2}

breit. Die Intervallgrenzen sind somit:

- 1; - \frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}

und 1

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21:10 Uhr, 26.09.2011

Soweit ist es mir klar.. aber dann?

DmitriJakov aktiv_icon

21:18 Uhr, 26.09.2011

Mach am Besten eine Wertetabelle für die verschiedenen Intervallgrenzen:

f (- 1) = {(- 1)}^{4} = 1

f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{16}

f (0) = 0

f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16}

f (1) = 1

Für die Untersumme wird immer der kleinere Funktionswert der beiden Intervallgrenzen verwendet. Das erste Intervall ist somit

\frac{1}{2} \cdot f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16}

weil

f (- \frac{1}{2}) < f (- 1)

Das zweite Intervall ist

\frac{1}{2} \cdot f (0)

Das Dritte Intervall ist

\frac{1}{2} \cdot f (0)

Und das vierte ist

\frac{1}{2} \cdot f (\frac{1}{2})

Yeah♥ aktiv_icon

21:30 Uhr, 26.09.2011

Wieso verwendet man aber nicht als erstes

f (- 1)

damit fängt es doch schließlich an..?

Die Obersumme wäre also:

O 4 = \frac{2}{4} \cdot f (1) + \frac{2}{4} \cdot f (0,5) + \frac{2}{4} \cdot f (0,5) \cdot + \frac{2}{4} \cdot f (1)

?

Ah Mensch, das ist so kompliziert.

DmitriJakov aktiv_icon

21:34 Uhr, 26.09.2011

Bei der Obersumme hast Du es jetzt fast richtig gemacht.

O_{4} = \frac{2}{4} \cdot f (- 1) + \frac{2}{4} \cdot f (- 0,5) + \frac{2}{4} \cdot f (0,5) + \frac{2}{4} \cdot f (1)

Die Untersumme verwendet im Gegensatz dazu immer den jeweils kleineren Funktionswert an ihren beiden Intervallgrenzen.

Yeah♥ aktiv_icon

21:39 Uhr, 26.09.2011

Gut, kannst du mir vielleicht noch ein Beispiel zum Üben geben?

DmitriJakov aktiv_icon

21:45 Uhr, 26.09.2011

Hier habe ich mal eines gefunden: www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_hand.htm

Sowas kannst Du dir auch selbst recherchieren. Ich habe jetzt bei Google nur die beiden Wörter "übungsaufgaben obersumme" eingegeben

- 8200

Treffer

Yeah♥ aktiv_icon

21:57 Uhr, 26.09.2011

Okay, dann denke ich mir mal selbst eins aus.

y = 0,5 \cdot x^{2}

[

-2;4]

U 5 = \frac{6}{5} \cdot f (- 0,5) + \frac{6}{5} \cdot f (0) + \frac{6}{5} \cdot f (0) + \frac{6}{5} \cdot f (0,5) + \frac{6}{5} \cdot f (1) + \frac{6}{5} \cdot f (1,5)

U 5 = \frac{6}{5} \cdot [(0,5 \cdot {(- 0,5)}^{2} + (0,5 \cdot 0^{2}) + (0,5 \cdot 0^{2}) + (0,5 \cdot {0,5}^{2}) + (0,5 \cdot 1^{2}) + (0,5 \cdot {1,5}^{2})

O 5 = \frac{6}{5} \cdot f (- 1) + \frac{6}{5} \cdot f (- 0,5) + \frac{6}{5} \cdot f (0,5) + \frac{6}{5} \cdot f (1) + \frac{6}{5} \cdot f (1,5) + \frac{6}{5} \cdot f (2)

So richtig? Wenigstens ungefähr?

DmitriJakov aktiv_icon

22:13 Uhr, 26.09.2011

Du hast ein Intervall der Breite 6 und teilst es in 6 Abschnitte ein. Dann müsste die Intervallbreite 1 betragen. Du schreibst aber

\frac{6}{5}

Und die ersten beiden Intervallgrenzen wären dann

- 2

und

- 1

. Als Erstes müsste also

f (- 1)

oder

f (- 2)

dastehen. Du beginnst aber mit

f (- 0,5),

was überhaupt keine Intervallgrenze ist.

Yeah♥ aktiv_icon

22:38 Uhr, 26.09.2011

Ich hab mich verguckt.
Meinte I=

[

-1;2]

Und wenn man dann alles durch

\frac{5}{3}

da ersetzt, ist es dann richtig?

DANKE!

DmitriJakov aktiv_icon

22:43 Uhr, 26.09.2011

Der Faktor vor dem

f (x)

ist immer die Intervallbreite. Hast Du einen Abschnitt der Länge 3 und teilst ihn in 6 Intervalle auf, so ist jedes Intervall

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

breit.

Die Untersumme ist dann bei Deinem Beipiel:

U_{6} = \frac{1}{2} \cdot f (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot f (0) + \frac{1}{2} \cdot f (0) + \frac{1}{2} \cdot f (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot f (1) + \frac{1}{2} \cdot f (\frac{3}{2})

Yeah♥ aktiv_icon

22:52 Uhr, 26.09.2011

Ich hab doch aber

U 6

genommen.

DmitriJakov aktiv_icon

22:56 Uhr, 26.09.2011

Ja, aber die

\frac{5}{3}

ist falsch, genauso wie die

\frac{6}{5}

vorher falsch waren.

Yeah♥ aktiv_icon

22:58 Uhr, 26.09.2011

Ah Quatsch,

Ich hatte doch

U 5

3 : 5 = \frac{3}{5}

Das aber dann richtig? Biitte

DmitriJakov aktiv_icon

23:11 Uhr, 26.09.2011

Wenn Du

U_{5}

machst, dann darfst Du natürlich keine sechs Summanden hinschreiben. Und Der Bereich von

- 1

bis

+ 2

wird dann in 5 Intervalle geteilt, wobei jedes Intervall dann die Länge hat:

\frac{3}{5}

Einheiten.
und die Untersumme sieht dann so aus:

U_{5} = \frac{3}{5} \cdot f (- 1 + 1 \cdot \frac{3}{5}) + \frac{3}{5} \cdot f (- 1 + 2 \cdot \frac{3}{5}) + f (- 1 + 2 \cdot \frac{3}{5}) + f (- 1 + 3 \cdot \frac{3}{5}) + f (- 1 + 4 \cdot \frac{3}{5})

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