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Obere und untere Schranke bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beschränktheit, oben, Schrank, unten

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11:54 Uhr, 13.02.2018

Hallo ihr Lieben,

ich bräuchte bitte Hilfe bei der Bestimmung der unteren und oberen Schranken von Folgen.

1) a = n^{2} - 6 n

Laut Lösung ist diese Folge nach unten bei

- 9

beschränkt und nach oben unbeschränkt aber wie komme ich darauf?

genauso hier

2) a = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}

ist unten beschränkt bei

- 1

und nach oben bei

0,5

Kann mir jemand erklären wie ich das berechnen kann?

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

12:07 Uhr, 13.02.2018

1)

mehrere Möglichkeiten
Schreibe explizit die ersten paar Glieder auf.
Orientiere dich an der Funktion

f (x) = x^{2} - 6 \cdot x

Bestimme, in welchem Intervall die Folge monotan wachsend bzw. monoton fallend ist.

ad

2)

Betrachte gerade und ungerade

n

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12:21 Uhr, 13.02.2018

Könnte ich bei der ersten auch, davon ausgehen, dass es ja eine Parabel ist und ich somit einfach den Tief- oder Hochpunkt ausrechne, und das dann als obere oder untere Schranke definieren?

Bei der

2)

komme ich leider nicht weiter. Habe zwar nun festgestellt, dass bei geraden und ungeraden

n

die Werte immer zwischen negativ und positiv hin- und herspringen. Jedoch weiß ich nicht wie ich damit auf die Schranken kommen soll? Was ich auch nicht verstehe, wenn ich für

n = - 1

einsetze, erhalte ich doch

\frac{{(- 1)}^{- 1}}{- 1} = 1

. Wie kann dann die obere Schranke

0,5

sein?

Respon

12:23 Uhr, 13.02.2018

2)

n

ungerade

: - 1; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{5} \to 0 (

streng monoton wachsend )

n

gerade

: \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{6} \to 0 (

streng monoton fallend )

\Rightarrow . .

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12:36 Uhr, 13.02.2018

Also tut mir Leid, wenn ich mich da jetzt zu doof anstelle, aber ich kann grade nicht wirklich was mit dem Lösungsansatz anfangen. Geht es eventuell noch etwas genauer oder ausführlicher?

Respon

12:41 Uhr, 13.02.2018

Man erkennt, dass

- 1

eine untere und

\frac{1}{2}

eine obere Schranke ist.

ledum aktiv_icon

12:54 Uhr, 13.02.2018

Hallo
zu

1)

Parabel ist keine schlechte Idee, aber da

n

ganz ist kannst du nicht differenzieren. quadratische ergänzung:n^2-6n=(n-3)^2-9
der erste Term ist

\geq 0

deshalb

- 9

größte untere Schranke, und die Klammer wächst beliebig stark

2) \frac{{(- 1)}^{n}}{n}

aufteilen in

n

gerade und ungerade
nungerade:

- \frac{1}{n} ≻ 1

für alle

n > 1

also

- 1

untere Sch.

\frac{1}{n}

für

n

gerade

\frac{1}{n} < \frac{1}{2}

für ale geraden

n > 2

also

\frac{1}{2}

obere

n

sind die natürlichen Zahlen irgendwo in deiner Aufgabe steht sicher so was wie

n \in ℕ

also

n \geq 1

Gruß ledum

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