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Oberfläche Pyramide/Tetraeder
Schüler Gymnasium,
Tags: Wie komme ich weiter?
 
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Meine Aufgabenstellung lautet: Wählen sie die Eckpunkte eines Tetraeders so das dessen Grundfläche in der x-y-Ebene liegt und sein Volumen 20LE^3 beträgt. Wie muss ein Tetraeder beschaffen sein , das bei gegebenem Volumen eine möglichst kleine Oberfläche hat? Ich habe die allgemeine Formel für das Volumen so verändert das ich die Kanten des Tetraeders herausbekommen habe Ich gehe jetzt einfach mal davon aus das die Flächen alle gleich lang sind. Wie soll ich aber nun weiter vorgehen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) |
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Im Prinzip hast Du ja schon alles hingeschrieben (für ein regelmäßiges Tetraeder): die Kantenlänge a beträgt ungefähr cm und ist überall gleich. Also musst Du nur noch ein gleichseitiges Dreieck in die x-y-Ebene legen mit Kantenlänge . Die Spitze liegt über dem Mittelpunkt des Grunddreiecks (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) und hat die z-Koordinate gleich der Höhe des Tetraeders: Dieses regelmäßige Tetraeder hat auch die "optimale" Oberfläche. |
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erstmal danke für die schnelle antwort!! kannst du mir das nochmal genauer erklären? also wie das genau gemeint ist? ich kann mir das gerade irgendwie schlecht vorstellen. "Die Spitze liegt über dem Mittelpunkt des Grunddreiecks (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) und hat die z-Koordinate gleich der Höhe des Tetraeders: z=a3⋅6√ Dieses regelmäßige Tetraeder hat auch die "optimale" Oberfläche." |
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Du solltest den Mathe-Modus in Deinem Browser aktivieren, damit Du die Formeln richtig dargestellt bekommst. Zeichne mal ein x-y-Koordinatensystemauf. In dieses soll nun die Grundfläche (diese ist ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge cm) eingezeichnet werden. Eine Möglichkeit ist Punkt A und dürften klar sein. Punkt hat als x-Koordinate cm) und als y-Koordinate die Höhe des Dreiecks Der Fußpunkt der Spitze (also die Projektion der Spitze in die Grundfläche) ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von ABC. Die x-Koordinate ist gleich der von die y-Koordinate ist der Höhe, also . Die Höhe eines regelmäßigen Tetraeders ist . Damit können wir die Spitze angeben: Wenn Du alles mal aufzeichnest, wird's klarer... |
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nee, jetzt hab ich es! super danke!!! du warst mir eine große hilfe! :-) |
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. Zeichnung Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt: |
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hm.. ich kann die zeichnung nicht sehen :S wie kamst du darauf bei C bei der x Koordinate das ganze mal a/2 zu nehmen? und ich weiß nicht wie ich dieses formel dingends einstellen soll :-) |
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Wegen der Formeln: lies mal oben unter "Hilfe" "Technisches" nach! Auf die kommst Du durch einfache Symmetriebetrachtung: wenn die Grundseite die Länge a hat, muss die Spitze über der Mitte liegen, also hat sie die x-Koordinate |
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ohje, ich sehe jetzt zwar die zeichnung.. aber irgendwie verstehe ich sie nicht weil sie nur in der x y koordinate ist und nicht in der x y z koordinate.. sry ich komme mir gerade auch irgendwie voll doof vor :S |
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Na, für die z-Koordinate gehst Du von senkrecht nach oben. Dreidimensional zeichnen ist etwas schwierig hier :-)... |
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achsoo und vermutlich die letzte frage, wie kommst du darauf das die y koordinate von d 1/3 der höhe ist? ist das eine allgemeine form und immer so? |
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danke! du hast mir echt super geholfen!! sehr verständlich :-) gute nacht! |
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Sorry, war am Abend nicht mehr online. Was die y-Koordinate von (und betrifft: das kannst Du mit etwas Trigonometrie leicht herausfinden, oder Du schaust mal in eine Formelsammlung: im gleichseitigen Dreieck halbiert die Höhe den Winkel an der gegenüberliegenden Ecke . 30°). Für die Strecke von der Grundseite bis zum Schnittpunkt der Höhen (bzw. Mittelsenkrechten) gilt dann: sin(30°) Also teilt der Schnittpunkt die Höhen im Verhältnis |
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