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Oberfläche Paraboloid

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Differentiation

Integration

Tags: Integration, Oberflächenintegral, Paraboloid, Parametrisieren, parametrisierung

Manuel91 aktiv_icon

18:29 Uhr, 05.06.2017

Hey, habe wieder eine Frage:

Ich soll die Oberfläche eines Paraboloids inkl. Deckel berechnen.

Sei

F

die Oberﬂäche des Paraboloids

x^{2} + y^{2} + z \leq 1

im Bereich

z \geq 0

(a)

Parametrisieren Sie

F -

am einfachsten mit Polarkoordinaten.

(b)

Berechnen Sie die Oberﬂäche inklusive Deckel von F.

Habe meine Rechenschritte bzw. die Lösung als Datei hochgeladen.

Die Parametrisierung war kein Problem.
Allerdings verstehe ich nicht, wie man auf das Kreuzprodukt bzw. die Werte des Kreuzprodukt kommt. Ich kann ein Kreuzprodukt berechnen, aber ich weiß nicht wie ich von meiner Parametrisierung auf die beiden Vektoren komme, aus denen ich das Kreuzprodukt bilden soll.

Das Oberflächenintegral an sich verstehe ich auch. Bräuchte bitte nur bei dem einen Punkt ein wenig Hilfe.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Manuel91 aktiv_icon

18:40 Uhr, 05.06.2017

Hier noch einmal das Bild, dürfte beim ersten Versuch nicht funktioniert haben..

EDIT: Kann gerade keine Fotos hier hochladen..

Was ich nicht verstehe ist Folgendes:

Habe mein Paraboloid

F : x^{2} + y^{2} + z \geq 1; z \geq 0

folgendermaßen parametrisiert:

Mantel:

(\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 1 - r^{2} \end{matrix})

Deckel:

(\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 0 \end{matrix})

Nun habe ich in meiner Musterlösung stehen, ich solle das Kreuzprodukt von

| (\vec{x} φ) x (\vec{x} r) |

bilden.

Wobei

(\vec{x} φ)

so aussieht:

(\begin{matrix} - r \cdot sin (φ) \\ r \cdot cos (φ) \\ 0 \end{matrix})

und

(\vec{x} r)

so:

(\begin{matrix} cos (φ) \\ sin (φ) \\ - 2 r \end{matrix})

Wie komme ich auf diese Werte für

\vec{x} φ

und

\vec{x} r

?

Das Ergebnis hiervon ist dann:

r \cdot \sqrt{4 \cdot r^{2} + 1}

. Das Weiterrechnen solle dann kein Problem sein.

LG

pwmeyer aktiv_icon

19:03 Uhr, 05.06.2017

Hallo,

was sagt denn Dein Skript: Wie wird ein Oberflächenmaß berechnet?

Gruß pwm

Manuel91 aktiv_icon

19:56 Uhr, 05.06.2017

Im Skript steht etwas von einem Normaleneinheitsvektor, der sich aus einem Kreuzprodukt durch due Norm eines weiteren Kreuzprodukts zusammensetzt. Diesen integriert man dann scheinbar.
Wüsste allerdings gerne wie ich in meinem konkreten Fall auf das Kreuzprodukt komme - die Werte/das Ergebnis sind aus meiner Übung und beides sollte stimmen. Kannst du mir diesbzgl. vl weiterhelfen?

LG

ledum aktiv_icon

21:43 Uhr, 05.06.2017

x_{r} = \frac{d x}{d r}

entsprechend

x_{φ}

das gibt dir 2 Tangentenvektoren an die Flache, das Kreuzprodukt steht senkrecht drauf ist also normal zur Fläche, und muss noch auf 1 normiert werden.
wie man ein Kreuzprodukt ausrechnet solltest du wissen.
und es wird wohl nicht das Kreuzprodukt integriert sondern vec(v)dvec(A) mit dvec(A)=vec(n)dA
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

17:58 Uhr, 06.06.2017

Habe jetzt alles so nachgerechnet und komme auf das richtige Ergebnis, Danke!

Habe allerdings nur noch eine kleine Frage:

beim Normieren des Kreuzprodukts ist bei mir unter der Wurzel ein Term entstanden, der wie folgt lautet:

{sin}^{4} (φ) + {cos}^{4} (φ) + 2 \cdot {sin}^{2} (φ) \cdot {cos}^{2} (φ)

.

Habe dann mit Wolframalpha nachgerechnet und das ergibt 1. Ich bin mir der Additionstheoreme von Sinus und Kosinus bewusst und, dass

z . B

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

gilt. Kann man also meinen Ausdruck vielleicht irgendwie umschreiben, also in dem ich

z . B

{sin}^{2} (φ)

durch

(1 - {cos}^{2} (φ))

ausdrücke und dann im Endeffekt auf genau 1 komme? Falls ja, kann mir das vielleicht jemand vorrechnen? Komme leider auf keinen grünen Zweig... LG

abakus

18:36 Uhr, 06.06.2017

"ist bei mir unter der Wurzel ein Term entstanden, der wie folgt lautet:"
Was danach kommt, kann man erkennbar als

(s i n ² φ + c o s ² φ) ²

schreiben.

Manuel91 aktiv_icon

18:45 Uhr, 06.06.2017

Jetzt seh ichs auch! Im Grunde wiedermal so einfach... Danke!

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