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Oberfläche in Abhängigkeit von Radius

Schüler Berufsoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Radius, Zylinder

 
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Saltatio

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17:24 Uhr, 11.04.2010

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Hey!
Habe gerade folgende Aufgabe vor mir und komme gerade irgendwie nicht mehr weiter.
Hat mir jemand eine Lösung oder Lösungsantsätze?

Gruß Fabi

Eine zylinderförmige Dose mit dem Volumen V=1l soll eine minimale Oberfläche besitzen.

1.Stellen Sie die Oberfläche 0(r) in Abhängigkeit vom Radius r der Grundfläche dar!
2.Wie lautet ein sinnvoller Definitionsbereich für 0(r)?
3.Welcher Zusammenhang besteht zwischen Durchmesser und Höhe der optimalen Dose?
Gilt dieser Zusammenhang allgemein?
4.Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Dosen, die man im Handel kaufen kann!


CCI11042010_00000

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Shipwater

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17:28 Uhr, 11.04.2010

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Hallo,

(setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Davon sehe ich bisher nichts.

Gruß Shipwater
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anonymous

anonymous

17:31 Uhr, 11.04.2010

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kleiner Lösungsansatz zu 1

O=2r2Π+2rΠh ist die Hauptbedingung

V=r2Πh ist die Nebenbedingung

Lg
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Shipwater

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17:34 Uhr, 11.04.2010

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"pi" wird zu π und "Pi" wird zu dem hässligen Tisch Π ;-)
Saltatio

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23:41 Uhr, 18.04.2010

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So, habe nun folgenden Lösungsansatz:

1. Bedingung ist die Formel für die Oberfläche
O=2π*r²+2π*r*h
2. Bedingung ist die Formel für das Volumen
V=π*r²*h=1000

die Volumen Formel auf h umstellen

h=1000π*r²

Die umgestellte Formel nun in die Oberflächenformel einfügen
O(r)=2π*r²+2000r
O(r)=2π*r²+1r*2000

Daraus die 1. Ableitung

O`(r)=4π*r+(0-1r²)*2000
O`(r)=4π*r+2000r²
O`*r²=4π*r³-2000
O`*r²+2000=4π*r³

O in der 1. Ableitung ist ja 0 also folgt daraus

0*r²+2000=4π*r³
πr³=500
r³=500π
r=5,42

Aus der 1. Ableitung machen wir jetzt noch die 2. Ableutung um den minimalen Wert zu bekommen
O`(r)=4π*r+2000r²
O``(r)=4π+2000r⁴
O``(r)=4π+2000862,5

So da jetzt hier ein positiver Wert herauskommt, handelt es sich nun um einen Minimalwert (Habe ich das richtig verstanden?)

Jetzt fügen wir den Radius noch in die Volumen formel ein um die Höhe zu bekommen

1000=π*29,368*h
h=10,84

Ich hoffe so habe ich die 1. Aufgabe richtig gelöst

für die 2. Aufgabe habe ich das der Defintionsbereich nur positive reele Zahlen außer 0 hat.

bei der 3. Aufgabe ist der Durchmesser gleich groß wie die Höhe. Dann ist es eine optimale Dose

und bei der 4. Aufgabe kann man noch sagen das die im Laden erhältlichen Dosen nicht einer optimalen Dose entsprechen.

So berichtigt mich bitte, wenn ich was falsch habe.
Danke!
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CKims

CKims aktiv_icon

00:00 Uhr, 19.04.2010

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alles korrekt...

wobei ich jetzt bei aufgabe 4 nicht eine dose vermessen habe ;-)