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Oberflächenintegral 1. Art

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Oberflächenintegral

sussy aktiv_icon

15:23 Uhr, 21.11.2022

Hallo liebes Matheforum,

Ich hänge momentan an einer Aufgabe und weiß nicht weiter. Ich soll den Flächeninhalt einer Funktion F mit Hilfe des Oberflächenintegrals erster Art berechnen. Die Parametrisierung von F lautet wie folgt:

\vec{γ} (x, y) = (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ f (x, y) \end{array})

mit

f : D \to ℝ

;

D \subset ℝ^{2}

;

(x, y) \in D

Wenn uns für x&y keine Intervalle gegeben sind sollen wir es für variable Intervalle berechnen. Die Formel lautet somit:

∣ F ∣ = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} ∣ ∣ \partial_{x} \vec{γ} (x, y) \times \partial_{y} \vec{γ} (x, y) ∣ ∣ d y) d x

Bis jetzt kam ich auf

∣ ∣ \partial_{x} \vec{γ} (x, y) \times \partial_{y} \vec{γ} (x, y) ∣ ∣ = \sqrt{(- \partial_{x} f (x, y))^{2} + (- \partial_{y} f (x, y))^{2} + 1}

Wie kann ich das weiter vereinfachen? Wenn das nicht geht wie berechne ich dann das Integral davon? Oder habe ich mich schon vorher irgendwo vertan und mein Wert ist nicht richtig?
Ich würde mich sehr über Tipps und Hinweise freuen!

Gruß,
sussy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Punov aktiv_icon

16:08 Uhr, 21.11.2022

Hallo!

Wie lautet die genaue Aufgabenstellung? Das was du da aufgeschrieben hast, ist ja nichts Anderes als die Standardformel für das Integral über den Graphen einer skalaren Funktion,

z = f (x, y)

.

Daher sehe ich nicht, wie man das weiter vereinfachen können sollte ohne genauere Kenntnis über

f

sussy aktiv_icon

16:40 Uhr, 21.11.2022

Hallo Punov,

Die genaue Aufgabenstellung lautet:
Der Graph

F

einer Funktion

f : D \to ℝ

mit

D \subset ℝ^{2}

kann offenbar mittels

\vec{γ} (x, y) = (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ f (x, y) \end{array}), (x, y) \in D

parametrisiert werden. Berechnen Sie in allgemeiner Form den Flächeninhalt von

F

(in
Abhängigkeit von

f

). Sie können verwenden, dass

f

”hinreichend glatt” ist.

Erst in einer späteren Teilaufgabe erhalten wir eine konkrete Funktion für

f

.
Kann ich davon ausgehen dass ich den Flächeninhalt, mit mir den zu diesem Zeitpunkt gegebenen Informationen, nicht weiter vereinfachen kann als das doppelte Integral mit meinem zuvor angegebenen Wert?

Punov aktiv_icon

19:42 Uhr, 21.11.2022

Hallo,

ja, du hast die allgemeine Form hingeschrieben, wobei noch anzumerken ist, dass das Doppelintegral allgemein einfach über

D \subset ℝ^{2}

ist; auch das kannst du nur konkretisieren, wenn Genaueres gegeben ist.

Viele Grüße

1563703

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