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Oberflächenintegral Kugelschale

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Sonstiges

Tags: Oberflächenintegral, Sonstiges, Vektoranalysis

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20:24 Uhr, 26.02.2012

Hallo,

Ich habe eine Fläche gegeben $S : = {(x, y, z) \in R^{3} | x² + y² + z² = 2, 0 \leq z \leq \sqrt{2}}$

Die Orientierung von S sei so,dass das zugehörige Einheitsnormalenfeld dem Punkt (0,0,sqrt(2)) den Vektor (0,0,1) zuweißt.

Dazu ein Vektorfeld gegeben: $F = (\begin{matrix} - 2 z \\ 1 \\ - 4 \end{matrix})$

Ich soll nun das Oberflächenintegral $\int_{S}^{} F * n d O$ berechnen?

Ist folgendes richtig??:

Ich parametrisiere die Halbkugeloberfläche mit Kugelkoordinaten, setze als Radius Wurzel 2 in die Parametrisierung ein.

Die z Komponente der Parametrisierung setze ich in das Vektorfeld ein und multipliziere das Vektorfeld dann mit der Parametrisierung der Halbkugelfläche.

Muss ich die Funktionaldeterminante hinzufügen?

Danke

Gruß

virus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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20:31 Uhr, 26.02.2012

Schreib doch mal hin, welchen Ausdruck du für das Integral bekommst. Am besten nur den Ansatz, ohne Vereinfachungen.

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20:35 Uhr, 26.02.2012

Also Parametrisierung der Oberfläche:

$F (φ, θ) = (\begin{matrix} \sqrt{2} * \sin (θ) \cos (φ) \\ \sqrt{2} * \sin (θ) \cos (φ) \\ \sqrt{2} \cos (θ) \end{matrix}), 0 \leq φ \leq 2 π, 0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$

Das setze ich in das Vektorfeld w ein:

$- > w = (\begin{matrix} - 2 \sqrt{2} * \cos (θ) \\ 1 \\ - 4 \end{matrix})$

$\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 2} w * (F_{φ} \times F_{θ}) d θ d φ$

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20:38 Uhr, 26.02.2012

Also

w

sieht schon mal gut aus, genauso die Integrationsgrenzen. Jetzt brauchst du noch

n (θ, φ)

und den richtigen Ausdruck für

d O

("Funktionaldeterminante").

edit: Ich sehe, du hast dein Integral editiert. Dort müsste der Normalenvektor

n (θ, φ)

anstelle der Parametrisierung

F (θ, φ)

stehen.

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20:40 Uhr, 26.02.2012

aaa verdammt, Kreuzprodukt der part. Ableitungen der Parametrisierung der Halbkugeloberfläche brauche ich :-)

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20:46 Uhr, 26.02.2012

Vor allem, beachte meinen Edit im letzten Post. :-)

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20:51 Uhr, 26.02.2012

Ziemlich groß das ganze,

Habe jetzt:

$S_{φ} = (\begin{matrix} - \sqrt{2} \sin θ \sin φ \\ \sqrt{2} \sin θ \cos φ \\ 0 \end{matrix}), S_{θ} = (\begin{matrix} \sqrt{2} \cos θ \cos φ \\ \sqrt{2} \cos θ \sin φ \\ - \sqrt{2} \cos θ \end{matrix})$ und die Funktionaldeterminante ist:

$\det ψ = 2 \sin θ$

Aus den 2 Vektoren oben muss ich das Kreuzprodukt bilden und das alles mal die Funktionaldeterminante dann?

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20:56 Uhr, 26.02.2012

Soweit ich mich erinnere, ist der Betrag des Kreuzproduktes der beiden Vektoren gerade die Funktionaldeterminante. Oder wie genau bist du auf

2 \sin θ

gekommen (was übrigens richtig ist)?

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21:00 Uhr, 26.02.2012

Aus Wiki Thema Kugelkoordinaten. Da werden die Volumen- und Flächenelemente beschrieben.

Stimmt das jetzt was ich machen muss? Wird ein ziemlich langes Integral mit vielen Sinus, Cosinus, hoffe da gibts was zu vereinfachen...

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21:04 Uhr, 26.02.2012

Naja, wenn du die Funktionaldeterminante aus Wiki übernimmst, brauchst du die beiden

S

-Vektoren nicht mehr. Die wären gerade dafür gut, die Funktionaldeterminante zu berechnen.

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21:07 Uhr, 26.02.2012

Ich dachte ich muss die 2 Ableitungen kreuzen und das Kreuzprodukt skalar mit dem Vektorfeld multiplizieren.

So ist das hier z.B. beschrieben, oder verstehe ich das falsch?

http//de.wikipedia.org/wiki/Oberfl%C3%A4chenintegral#Das_vektorielle_Oberfl.C3.A4chenintegral

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21:15 Uhr, 26.02.2012

Wenn du das tust, brauchst du keine Funktionaldeterminante mehr, die "steckt" dann schon im Kreuzprodukt:
Einerseits gilt

d \vec{σ} (θ, φ) = {\vec{S}}_{θ} \times {\vec{S}}_{φ} d θ d φ

andererseits gilt

d \vec{σ} (θ, φ) = \vec{n} (θ, φ) ∣ d e t J ∣ d θ d φ

Dabei ist

∣ {\vec{S}}_{θ} \times {\vec{S}}_{φ} ∣ = ∣ d e t J ∣

und

\vec{n} (θ, φ) = \frac{{\vec{S}}_{θ} \times \vec{S} φ}{∣ {\vec{S}}_{θ} \times \vec{S} φ ∣}

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21:18 Uhr, 26.02.2012

Das stimmt und das verstehe ich.

Sagen wir mal ich nehme jetzt nur die Funktionaldeterminante, was mache ich mit der und dem Vektorfeld. Ich kann da ja kein richtiges Skalarprodukt bilden.

Mit dem Kreuzprodukt ginge das, aber das ist ziemlich unübersichtlich wenn ich das ausschreibe und ich glaube nicht dass das die Absicht des Aufgabenstellers war.

Danke für die Hilfe

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21:27 Uhr, 26.02.2012

Wenn du die Funktionaldeterminante verwenden möchtest, müsstest du den zweiten Ausdruck für

d σ

verwenden. Dann würdest du also den Normalenvektor brauchen. Den könntest du wiederum durch das Kreuzprodukt der beiden

S

-Vektoren ausrechnen, das wäre aber ein Riesen-Rumgerechne und man hätte bei der Normierung gerade durch die Funktionaldeterminante geteilt, die du danach ranmultiplizierst - da würde sich der direktere Weg über das nicht normierte Kreuzprodukt ohne Funktionaldeterminante anbieten.

Der Weg über die Funktionaldeterminante und den Normalenvektor bietet sich an, wenn die Geometrie einfach ist und man den Normalenvektor aus geometrischen Überlegungen heraus raten kann. Du kannst es ja mal versuchen. :-)

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21:43 Uhr, 26.02.2012

Ok die Funktionaldeterminante ist im Kreuzprodukt enthalten, die muss ich also nicht dazumultiplizieren.

Hier mein Kreuzprodukt:

$S_{φ} \times S_{θ} = (\begin{matrix} - 2 \sin (θ) \cos (φ) \sin (φ) \\ 2 \sin (θ) * \sin ² (φ) \\ 2 \sin θ sin² φ \cos θ - 2 \cos θ \sin θ \cos ² φ \end{matrix})$

Da sehe ich ja dass das Integral über die volle Periode von der ersten Komponente multipliziert mit der ersten vom Vektorfeld 0 wird, und bei der dritten Komponente habe ich ja mit sin²+cos²=1 insgesamt eine 0 edit: oder auch nicht. Die Aufgabe war in einem kleinen Test, d.h. die sollte bestimmt nicht so kompliziert sein. Deswegen bezweifle ich dass ich auf dem richtigen Weg bin.

PS: Satz von Gauß würde in der Aufgabe nicht gehen, da es sich nicht um eine geschlossene Oberfläche handelt oder?

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21:52 Uhr, 26.02.2012

Du hast dich leider beim Kreuzprodukt ein bisschen verrechnet. Prüfe nochmal die Vorzeichen und die Winkel, z.B. das

s i n^{2} (φ)

in der zweiten Komponente sollte nicht entstehen.

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21:57 Uhr, 26.02.2012

Ich glaube ich mach lieber morgen weiter weil ich jetzt wirklich kein Fehler erkennen kann.

Vielen Dank für deine Hilfe

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13:16 Uhr, 27.02.2012

Ich hab etwas übersehen. In der Aufgabe davor wurde folgendes gesagt:

$F = r o t (w)$

Und ich soll das Oberflächenintegral des Feldes F über die Halbkugelschale berechnen. w ist gegeben, ich habe die Rotation davon berechnet und dann versucht direkt zu rechnen.

Ich könnte aber hier auch den Satz von Stokes nutzen oder?!

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14:03 Uhr, 27.02.2012

Ja, das würde sich anbieten.

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15:44 Uhr, 27.02.2012

Ich parametrisiere die Randkurve in der x,y Ebene und leite diese ab:

$C (t) = (\begin{matrix} \sqrt{2} \cos (t) \\ \sqrt{2} \sin (t) \\ 0 \end{matrix}), C^{'} (t) = (\begin{matrix} - \sqrt{2} \sin (t) \\ \sqrt{2} \cos (t) \\ 0 \end{matrix})$

Parametrisierung der Kurve eingesetzt in das Vektorfeld:

$w = (\begin{matrix} z \\ z² - 4 x \\ - 3 \end{matrix}), w (C_{t}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \sqrt{2} \cos (t) \\ - 3 \end{matrix})$

Kurvenintegral aufgestellen und berechnen (part. Integration):

$\int_{0}^{2 π} (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \sqrt{2} \cos (t) \\ - 3 \end{matrix}) * (\begin{matrix} - \sqrt{2} \sin (t) \\ \sqrt{2} \cos (t) \\ 0 \end{matrix}) d t = \int_{0}^{2 π} - 8 \cos ² (t) d t = - 8 π$

Das war natürlich viel einfacher als direkt.Das Ergebniss sieht ok aus, sollte richtig sein. Ich verstehe jetzt aber auch die direkte Methode besser.

Vielen Dank für deine Hilfe

Schönen Gruß

virus

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