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Oberflächenintegral Satz von Gauß

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Gauß Satz, Integration

Domsi aktiv_icon

13:54 Uhr, 28.05.2012

Hi.

Ich bin mir bei diesem Beispiel (Anhang) mit den Grenzen für die Integration nicht sicher.

Zuerst habe ich die Parametrisierung vorgenommen:
$(\begin{array}{rcl} r \cdot c o s (φ) \\ r \sin (φ) \\ z \end{array})$

$0 \leq φ \leq 2 \cdot φ$

Laut Angabe:
$z = 9 - (x^{2} + y^{2})$

$z = 9 - r^{2}$ mit $c o s (φ)^{2} + s i n (φ)^{2} = 1$

Durch Umformen folgt:

$r^{2} < 9$
$- 3 < r < 3$

Meine Überlegung war, dass der Radius nicht negativ sein kann:

$0 < r < 3$

Daraus folgt:

$0 < z < 9$

Jetzt wende ich den Satz von Gauß an (Wie in der Angabe steht, gilt der Satz für Gauß für eine geschlossene Fläche. Ich muss also "Boden/Deckel" noch abziehen):

$\int \int_{S} K n d A = \int \int \int d i v K d x d y d z - \int \int_{B o d e n} K n d A$

$d i v K = 1 - z$ und die Jakobideterminante $= r$

$\int_{0}^{9} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{3} (1 - z) \cdot r d r d φ d z = - \frac{567 π}{2}$

Jetzt habe ich eine negative Fläche?? Habe ich meine Grenzen falsch gewählt oder hat es einen anderen Grund dass ich eine negative Fläche erhalte? (Den Boden habe ich jetzt noch nicht berechnet, weil ich mir mit dieser negativen Fläche unsicher bin).

Mfg,
Domsi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

14:31 Uhr, 28.05.2012

Hallo,

Du berechnest ja hier nicht die Fläche, sondern die Divergenz über ein Volumen und das kann ohne weiteres negativ sein (technisch bedeutet das, dass in dem Volumen eine Senke ist).

Dennoch ist Dein Integral falsch die Grenzen sind $r = 0 . . 3, φ = 0 . . 2 \cdot π, z = 0 . . 9 - r^{2}$ .

Gruß pwm

Domsi aktiv_icon

16:36 Uhr, 28.05.2012

Ich hab das so verstanden, dass das 3-fach Integral über die Divergenz (nach dem Satz von Gauß) einer Fläche entspricht. Wenn das Ergebnis jetzt negativ sein darf, muss ich dann mit dem Betrag davon rechnen oder ganz normal mit diesem negativen Wert weiter rechnen?

Ich hab jetzt einfach den negativen Wert genommen und noch den Boden berechnet (der Rechenweg und Lösung im Anhang)

Dann hätte ich dazu noch eine Frage. Der Normalvektor muss (laut meinem Skriptum) immer nach außen gerichtet (also aus dem Körper) sein. Laut Skriptum ist das im Allgemeinen gegeben wenn die z-Komponente meines Normalvektors positiv ist.

Wenn ich nun den Boden berechne und den Graphen anschaue www.wolframalpha.com/input/?i=z+%3D+9+-+%28x^2%2By^2%29) dann muss die Z-Komponente ja negativ sein, damit der Normalvektor nach außen gerichtet ist.
(In unseren Skriptum wurde das für eine Kreisscheibe einer Halbkugel ebenso gemacht).

Sind meine Annahmen richtig?

Was ist wenn ich einen Zylinder mit Boden und Deckel habe. Boden und Deckel haben ja die selbe Fläche, allerdings muss der Normalvektor auch nach außen gerichtet sein, also:
Deckel: $\vec{n}$
Boden: $- \vec{n}$

Ich bekomme also 2 mal die gleiche Fläche, nur mit anderen Vorzeichen. D.h. Boden und Deckel heben sich auf.

Stimmt das so?

Mfg,
Domsi

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pwmeyer aktiv_icon

08:38 Uhr, 30.05.2012

Hallo,

wie schon gesagt, ein Volumenintegral über die divergenz eines Feldes ist $i$ . allg. kein Maß für eine Fläche; sondern eher so etwas wie die der Ausfluss des Feldes aus dem Volumen - sofern überhaupt ein technischer Zusammenhang besteht. Auf jeden Fall kann es auch negativ sein.

Deine Rechnung scheint mir richtig zu sein.

Zum Zylinder: Ob sich die Beiträge von Deckel und Boden aufheben, hängt von den Werten des Feldes ab, die können ja jeweils verschieden sein.

Gruß pwm

Domsi aktiv_icon

16:34 Uhr, 30.05.2012

Vielen Dank.

Ja also in meinem Fall heben sich Deckel und Boden auf. Nachdem es sich noch um das selbe Thema handelt, habe ich jetzt gleich wieder diesen Thread verwendet.

Im Anhang ist die Angabe und meine gerechnete Lösung. Kann mein Ergebnis so stimmen?

Wie könnte ich das Beispiel ohne Gauß rechnen, also nur mit dem Integral über die Fläche, so wie ist es in der Angabe steht. Wenn ich den Zylinder parametrisiere, dann habe ich (wie auf der ersten Seite) noch ein "z". Was muss ich dann für "z" einsetzen?

Das Doppelintegral wäre ja über "r" und "Phi", dann würde mir noch immer ein "z" überbleiben.

Lg,
Domsi

OmegaPirat

20:47 Uhr, 31.05.2012

Du möchtest also so ein Oberflächenintegral direkt berechnen.

$\int \vec{E} \cdot \vec{n} d A$

als erstes musst du die fläche über die das integral läuft natürlich mit zwei parametern $u$ und $v$ parametrisieren.
Dann ist die fläche darstellbar durch
$\vec{r (u, v)}$
dabei ist $\vec{r}$ ein ortsvektor.
Jetzt kannst du diese fläche in der nähe von einem bestimmten $u_{0}$ und $v_{0}$ in eine taylorreihe entwickeln.
Etwa so:
$\vec{r} (u, v) = \vec{r} (u_{0}, v_{0}) + \frac{\partial r (u_{0}, v_{0})}{\partial u} Δ u + \frac{\partial r (u_{0}, v_{0})}{\partial v} Δ v + . .$ .
mit $Δ u = u - u_{0}$ und $Δ v = v - v_{0}$
Du kannst also die oberfläche in der umgebung von $u_{0}, v_{0}$ durch eine Tangentialebene ersetzen. auf der tangentialebene spannen die vektoren

$\vec{d a} = \vec{r (u, v_{0})} - \vec{r (u_{0}, v_{0})} = \frac{\partial r (u_{0}, v_{0})}{\partial u} d u$
und $\vec{d b} = \vec{r (u_{0}, v)} - \vec{r (u_{0}, v_{0})} = \frac{\partial r (u_{0}, v_{0})}{\partial v} d v$
(wobei $u$ und $v$ nur um ein infinitesimales stück neben $u$ und $v$ befinden. dann fallen die höheren terme der taylorentwicklung weg.)
ein parallelogramm auf dessen flächeninhalt dem des infinitesimalen flächenelements entspricht, es gilt also:
$\vec{n} \cdot d A = \vec{d a} \times \vec{d b} = \frac{\partial r (u_{0}, v_{0})}{\partial u} \times \frac{\partial r (u_{0}, v_{0})}{\partial v} d u d v$

das setzt du ins integral ein:
$\int \vec{E} \cdot \vec{n} d A = \int \vec{E} \cdot (\frac{\partial r (u, v)}{\partial u} \times \frac{\partial r (u, v)}{\partial v}) d u d v$

und da steht jetzt wie du das integral zu berechnen hast:

$1 .)$ parametrisiere die oberfläche mit parametern $u$ und $v$
$2 .)$ berechne $(\frac{\partial r (u, v)}{\partial u} \times \frac{\partial r (u, v)}{\partial v})$
$3 .)$ drücke $\vec{E}$ auch mit den Parametern $u, v$ aus
$4 .)$ löse das entstehende integral

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