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Oberflächenintegral kartesisch,polarkoordinaten

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Integration

Tags: Integration

noah61 aktiv_icon

20:05 Uhr, 21.01.2014

Gegeben sei der Kegelmantel:

M = {{(x, y, z)}^{T} \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} \leq 1, z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Berechnen sie die Oberfläche unter Verwendung Kartesischer- und Polarkoordinaten.

Hallo liebe Gemeinde,

ich will nur sicher gehen, dass mein Integral richtig aufgestellt ist und bitte um Rückmeldung.

Kartesisch:

Zunächst habe ich die Grenzen bestimmt:

- \sqrt{1 - y^{2}} \leq x \leq \sqrt{1 - y^{2}}

- 1 \leq y \leq 1

Somit lautet mein Integral:

\int_{- 1}^{1} \int_{- \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{1 - y^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y

Ausgerechnet habe ich das Ergebnis leider noch nicht (Wolfram hatte da auch Probleme)

Polar:

Die Polarkoordinaten sind:

x = r \cdot cos (φ)

y = r \cdot sin (φ)

Flächenelement wäre:

r*dr*dphi

Grenzen:

0 \leq r \leq - 1

0 \leq φ \leq 2 \cdot π

\int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{1} r

d φ

und bekomme am Ende auch

π

heraus.

Ist das so alles in Ordnung?

Vielen Dank im voraus
Noah

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

20:28 Uhr, 22.01.2014

nein, nicht richtig: Ergebnis =

\frac{2}{3} π

am einfachsten rechnet man mit Polarkoordinaten. Dann heißt das Integral aber

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r^{2} d r d φ

dein erstgenanntes Integral (kart.K.) liefert den selben Wert.

anonymous

20:28 Uhr, 22.01.2014

Doppelpost!

noah61 aktiv_icon

20:33 Uhr, 22.01.2014

Guten Abend,

danke für die Rückmeldung. Und wieso ist das

r^{2}

?

MFG
Noah

anonymous

20:38 Uhr, 22.01.2014

Flächenelement wie von dir angegeben

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{r^{2} c o s^{2} (φ) + r^{2} s i n^{2} (φ)} = \sqrt{r^{2} (. . .)} = . . .

noah61 aktiv_icon

21:59 Uhr, 22.01.2014

Hallo nochmal,

ich bin bei der weiteren Recherche im Internet auf die selbe Aufgabe, jedoch in einem anderen Forum gestoßen:

http//matheraum.de/forum/Oberflaeche_Kegel/t535039

Da kommt man auf ein anderes Ergebnis, was mich jetzt verwirrt

\frac{:}{}

MFG
Noah

anonymous

00:05 Uhr, 23.01.2014

hallo noah61,
ich muss gestehen, dass ich lediglich die von dir angegebenen Integrale überprüft habe, ich mich mit dem Gegenstand der Aufgabe nicht befasst habe.

Dazu musst du einiges aufarbeiten: wie berechne ich den Inhalt einer gekrümmten Fläche.
Im Netz findest du vieles, eine knappe Herleitung findest du z.B. hier:
http//www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/oberflaechenintegral2.pdf

wie gesagt: nur ein Vorschlag

noah61 aktiv_icon

00:41 Uhr, 23.01.2014

Hallo nochmal,

ich habe mir die Definition des Oberflächenintegrals auf Wikipedia angeguckt und bin dann auch auf das Ergebnis gekommen. Jedoch habe ich eine kleine Verständnisfrage:

Ein Doppelintegral ist ja folgendermaßen definiert:

\int \int_{G} f (x, y) d x d y

Wenn

f (x, y) = 1

gewählt wird, dann berechnet man den Flächeninhalt

(z . B

. eines Dreiecks, habe ich auch schon getestet).

Nun habe ich den Wikipedia-Artikel angeguckt und da war die Definition anders:

\int \int_{F} f (\vec{x}) d σ = \int \int_{B} f (\vec{φ} (u, v)) | | {\vec{φ}}_{u} \times {\vec{φ}}_{v} | | d (u, v)

Verstehe ich das richtig, dass die erste Definition für Flächeninhalte bezüglich 2-dimensionalen Objekten gilt und wenn man Oberflächen von 3-dimensionalen Objekten berechnen will, die zweite anwenden muss?

Hier setzt man ja auch

f (\vec{φ} (u, v)) = 1,

damit man die Oberfläche bekommt, würde man wenn man eine Funktion verwendet ein Volumen bekommen, wie im 1.Fall?

MFG
Noah

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