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Oberflächenintegral über Vektorfeld

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Oberflächenintegral, Vektorfeld

Zik357 aktiv_icon

21:34 Uhr, 18.05.2010

Abend,

ich habe (wie der Titel dieses Threads schon verdeutlicht) Probleme bzw. Unsicherheiten bei der Berechnung eines Oberflächenintegrals über ein Vektorfeld:

Aufgabenstellung ist folgende:

Vom Vektorfeld

v = (z, x, - 3 y^{2} z)

ist das Oberflächenintegral über den von

z = 0

bis

z = 2

reichenden Zylinder

x^{2} + y^{2} = 16

zu berechnen.

Mein Lösungsansatz:

Ich beginne mit der Parametrisierung der Grund- und Deckfläche, welche ich durch den Vektor

x 1 = (r \cdot cos (t), r \cdot sin (t),0)

bzw.

x 2 = (r \cdot cos (t), r \cdot sin (t), 2)

beschreibe; wobei

0 \leq r \leq 4

und

0 \leq t \leq 2 Π

die Werte für meine Parameter sind.

Als nächstes habe ich den Vektor jeweils nach

r

bzw. nach

t

abgeleitet und das Kreuzprodukt gebildet und erhalte den Normalvektor

n = (0,0, r)

(dessen Betrag

= r

ist).

Nun zur Grundfläche:

Ich setze in mein Vektorfeld die jeweiligen Komponenten des

x 1

Vektors ein und bilde ein Skalarprodukt mit dem Normalvektor. Nachdem bei der Grundfläche die z-Komponente 0 ist, ist das ganze Skalarprodukt von

v (r, t)

mit

n

gleich 0 und ich erhalte somit für das ganze Oberflächenintegral das Endergebnis 0. (Ich hoffe, dass ich soweit richtig gerechnet habe)

Nun kommen wir zur Deckfläche (dessen Endergebnis laut meines Mathe-Tutors auch 0 sein sollte)

Ich setze nun die Komponenten des x2-Vektors in den v-Vektor ein und erhalte den Vektor:

v (r, t) = (2, r \cdot cos (t),

-3r^2sin^2(t)*2). Nun bilde ich das Skalarprodukt mit dem Normalvektor und erhalte (da die

x 1

und

x 2

Komponente meines Normalvektors jeweils 0 sind) als Ergebnis: -6r^3sin^2(t)

Meines Wissens nach soll ich ja nun das Doppelintegral

(d t

dr) bilden mit den Grenzen

0 \leq t \leq 2 Π

und

0 \leq r \leq 4

(die jeweiligen Zahlen habe ich als Ober- und Untergrenze gewählt)

Da ich

- 6 r^{3}

als Konstante bei der Integration nach

d t

ansehen ziehe ich sie vor das Integral. Nun muss ich nur mehr das Integral

{sin}^{2} (t) d t

auflösen. Nach Additionstheorem ist

{sin}^{2} (t) = \frac{1}{2} (1 - cos (2 t);

ich ziehe erneut

\frac{1}{2}

vor das Integral und erhalte nach Integration das Ergebnis:

t - \frac{sin (2 t)}{2}

für welches ich nun Ober- und Untergrenze einsetze.

Obergrenze:

2 Π - \frac{sin (4 Π)}{2} (sin (4 Π) = 0)

somit erhalte ich

2 Π,

da bei der Untergrenze der ganze Therm 0 ist.

Nun zum nächsten Integral: Jetzt bleibt noch das Integral

(4

bis

0)

von

- 3 r^{3} \cdot 2 Π

*dr, welches meines Erachtens nach

- 6 Π \cdot \frac{r^{4}}{4}

ist und mir schließlich das Endergebnis nach einsetzten der Ober und Untergrenze von

- 384 Π

liefert.

Soweit so gut, das wäre mein Lösungsansatz; ich bitte darum, dass mir jemand sagt ob ich richtig bzw. falsch gerechnet habe, sollte zweiters zutreffen bitte auch den Lösungsweg angeben.

Desweiteren soll ich ja auch noch das Oberflächenintegral der Mantelfläche bilden; leider habe ich keinen blassen Schimmer davon, wie ich das machen soll, da ich ja (soweit ich das jetzt abschätzen kann) einen dritten Parameter für die Höhe benötige.

i . d . S

.
Danke und schönen Abend
Martin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:44 Uhr, 19.05.2010

Hallo,

ich bekomme auch

- 384 \cdot π

für den Deckel heraus.

Was den Mantel angeht, so ist eine Parametrisierung

x = 4 \cdot cos (t), y = 4 \cdot sin (t), z = s

mit

0 \leq t \leq 2 \cdot π

und

0 \leq s \leq 2

Gruß pwm

Zik357 aktiv_icon

13:34 Uhr, 19.05.2010

Vielen Danke, ich bin gestern Abends noch auf die Parametrisierung des Mantels gekommen und bekomme als Endergebnis 0 heraus für den Mantel; wäre super, wenn du das auch noch überprüfen könntest.

lg Martin

pwmeyer aktiv_icon

13:42 Uhr, 19.05.2010

Ja, habe ich auch raus.

Gruß pwm

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