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Oberflächenintrgral - Parametrisierung, Berechnung

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Oberflächenintegral

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00:07 Uhr, 30.09.2022

Liebes Forum,

im Zuge der Vorbereitung auf eine Klausur bin ich auf das Kapitel Oberflächenintegrale gestoßen und habe gehofft ihr könntet mir dabei helfen besagtes Beispiel zu verstehen. Anbei ist eine Ausarbeitung des Klausurbeispiels.

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Zum Beispiel:

Berechnen Sie das Oberflächenintegral:

\int_{}^{} \int_{B}^{} y z d y ⋀ d z + x z d z ⋀ + x y d x ⋀ d y

wobei die Fläche B durch:

B = (x, y, z) \in R^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4, z \leq 0

gegeben ist. Die Orientierung von B sei so gewählt, dass der Normalvektor positive z-Koordinate hat.

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Wie ich vorgehen würde:

Aufgrund der Form der Angabe würde ich in Polarkoordinaten bzw. Kugelkoordinaten rechnen.

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

wir wissen:

x^{2} + y^{2} = r^{2}

\Rightarrow r^{2} = 4 - z^{2}

und weil

z \leq 0

\Rightarrow r = + 2

Kugel/Polarkoordinaten:

x = r s i n (θ) c o s (φ) = 2 s i n (θ) c o s (φ)

y = r s i n (θ) s i n (φ) = 2 s i n (θ) s i n (φ)

z = r c o s (θ) = 2 c o s (θ)

mit

0 \leq φ \leq 2 π

und

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

.

Jetzt wollte ich den Normalvektor berechnen. Dazu leite ich die gewählte Parametrisierung jeweils einmal nach

φ

und einmal nach

θ

ab und bilde das Kreuzprodukt.

\frac{δ Φ}{δ φ} = (\begin{array}{rcl} 2 c o s (φ) c o s (θ) \\ 2 s i n (φ) c o s (θ) \\ - 2 s i n (θ) \end{array})

\frac{δ Φ}{δ θ} = (\begin{array}{rcl} - 2 s i n (θ) s i n (φ) \\ 2 s i n (θ) c o s (φ) \\ 0 \end{array})

n = (\begin{array}{rcl} 2 c o s (φ) c o s (θ) \\ 2 s i n (φ) c o s (θ) \\ - 2 s i n (θ) \end{array}) \times (\begin{array}{rcl} - 2 s i n (θ) s i n (φ) \\ 2 s i n (θ) c o s (φ) \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 4 c o s (φ) s i n^{2} (θ) \\ 4 s i n (φ) s i n^{2} (θ) \\ 4 c o s^{2} (φ) c o s (θ) s i n (θ) + 4 c o s (θ) s i n^{2} (φ) s i n (θ) \end{array})

-> und da weiche ich von der Ausarbeitung ab und wollte fragen wo ich mich da vertan habe und wie ich am Besten weitermache

MfG und vielen Dank für eure Zeit!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

15:33 Uhr, 30.09.2022

hallo
in der

z -

Komponente

sin (φ) \cdot cos (θ

ausklammern dann sieht man dass es bis auf den Faktor (2sin(\theta)) einfach proportional

(x, y, z)

ist, der Normalenvektor muss ja radial sein ! auf dem Zettel steht der Einheitsnormalenvektor

n

was hast du denn nun anders?

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19:05 Uhr, 30.09.2022

Um das Beispiel von oben fortzusetzen:

n = . . . = (\begin{array}{rcl} 4 c o s (φ) s i n^{2} (θ) \\ 4 s i n (φ) s i n^{2} (θ) \\ 4 c o s^{2} (φ) c o s (θ) s i n (θ) + 4 c o s (θ) s i n^{2} (φ) s i n (θ) \end{array}) [c o s * s i n - f ä l l t . w e g]

= (\begin{array}{rcl} 4 c o s (φ) s i n^{2} (θ) \\ 4 s i n (φ) s i n^{2} (θ) \\ 4 c o s^{2} (φ) + 4 s i n^{2} (φ) \end{array}) : 4 s i n (θ)

= (\begin{array}{rcl} c o s (φ) s i n (θ) \\ s i n (φ) s i n (θ) \\ \sin (θ) s i n^{2} (φ) + c o s^{2} (φ) \end{array}) z - K o m p o n e n t e \neq

dem Ergebnis auf dem Zettel

Ich möchte nur auf das gleiche Ergebnis für den n-Vektor kommen wie auf dem Zettel. Aber theoretisch könnte ich ja mit dem von mir auch rechnen sofern er stimmt und nur ein vielfaches ist oder?

MfG

ledum aktiv_icon

23:53 Uhr, 01.10.2022

Du verrechnest dich zu sehr. ich sagte doch was du ausklammern sollst dann bleibt in der Klammer

{sin}^{2} + {cos}^{2} = 1

was du mit der

z -

Komponente machst Versrehe ich nicht?
lul

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00:22 Uhr, 03.10.2022

Habe ich dann gemerkt, habe das Beispiel jetzt verstanden vielen Dank für deine Zeit!

Lg

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