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Oberflächenmaß berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Mannigfaltigkeit, Oberflächenintegral, oberflächenmaß

Froog

16:17 Uhr, 22.07.2020

Hallo,
ich soll

μ (Z \cap M)

berechnen, wobei

μ

das Oberflächenmaß auf

M = {(x, y, z)^{T} \in ℝ^{3} ∣ F ((ξ, η, ζ)^{T}) = 3 η + 3 ξ ζ^{2} - ξ^{3} - 3 = 0}

ist und

Z = {(x, y, z)^{T} \in ℝ^{3} ∣ x^{2} + z^{2} \leq 2, x > 0, z \geq 0}

.

Ich habe bereits gezeigt, dass

M

eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist und bin für die Berechnung von

μ (Z \cap M)

folgendermaßen vorgegangen

Ich nehme die Einbettung

Φ : ℝ^{2} \to M

und

Φ (s) = Φ ((ξ, ζ)^{T}) = (ξ, 1 - ξ ζ^{2} + ξ^{3} / 3, ζ)^{T}

und

\det (d Φ (s)^{T} d Φ (s)) = . . . = (ξ^{2} + ζ^{2})^{2} + 1

Für

Φ^{- 1} (Z \cap M)

gilt

x^{2} + z^{2} \leq 2 \Rightarrow - \sqrt{2 - ξ^{2}} \leq ζ \leq \sqrt{2 - ξ^{2}}, ξ \leq 2

und

z \geq 0, x > 0 \Rightarrow ζ \geq 0, ξ > 0

Damit folgt

μ (Z \cap M) = \int_{Φ^{- 1} (Z \cap M)} \sqrt{\det (d Φ (s)^{T} d Φ (s))} d λ_{2} (s) 4

Durch Transformation in Polarkoordinaten erhalte ich

μ (Z \cap M) = \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2 π} r \sqrt{r^{4} + 1} d α d r = 2 π \int_{0}^{\sqrt{2}} r \sqrt{r^{4} + 1} d r

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich hier richtig liege, denn das letzte Integral händisch zu berechnen wäre sehr mühsam und bei der Prüfung wird das gefordert.

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

17:45 Uhr, 22.07.2020

Hallo,
mag sein, dass ich mich verrechnet habe, aber wo kommt das

r

vor der Wurzel

\sqrt{r^{4} + 1}

her?
Gruß ermanus

Froog

17:59 Uhr, 22.07.2020

Durch die Transformation in Polarkoordinaten. Das ist ja genau die Determinante der Jacobimatrix

ermanus aktiv_icon

18:08 Uhr, 22.07.2020

Du hattest doch aber oben schon festgestellt, dass

\det (d Φ (s)^{T} d Φ (s)) = . . . = (ξ^{2} + ζ^{2})^{2} + 1 = r^{4} + 1

ist ...

ermanus aktiv_icon

18:14 Uhr, 22.07.2020

Ja, jetzt sehe ich es auch.
Da bin ich wohl blind gewesen. Sorry!

Froog

18:23 Uhr, 22.07.2020

Ja aber es ist doch

\int_{A} f d λ_{d} = \int_{B} f \circ T \cdot ∣ \det d T ∣ d λ_{d}

, wobei

T : B \to A

und

f : A \to ℝ

.

In dem Beispiel ist

d = 2

und

T : [0, \sqrt{2}) \times [0, 2 π] \to ℝ^{2}, T ((r, α)^{T}) = (r \cos α, r \sin α)^{T}

f : (0, 2] \times [0, \sqrt{2 - ξ^{2}}] \to ℝ, f ((ξ, ζ)^{T}) = \sqrt{(ξ^{2} + ζ^{2})^{2} + 1}

Durch die Transformation ergibt sich dann

f (T ((r, α)^{T}) = \sqrt{(r^{2})^{2} + 1} = \sqrt{r^{4} + 1}

und

∣ \det d T ∣ = r

.

Deshalb erhalte ich ein zusätzliches

r

. Ich sehe nicht, wo ich hier falsch liege.

ermanus aktiv_icon

18:23 Uhr, 22.07.2020

Komme ansonsten auch zu deinem Ergebnis,
habe aber die Grenzen nicht überprüft.
Wolfram Alpha findet folgende Stammfunktionen:
www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+r*sqrt%28r%5E4%2B1%29

Gruß ermanus

Froog

18:23 Uhr, 22.07.2020

super!

Froog

18:25 Uhr, 22.07.2020

Vielen Dank für deine Mühe ;-)
Ich hoffe, die Grenzen haben gestimmt, denn da tue ich mir oft schwer.

pwmeyer aktiv_icon

19:22 Uhr, 22.07.2020

Hallo,

ich habe nicht alles durchgerechnet, frage mich aber: Wo ist berücksichtigt, dass

x \geq 0

und

z \geq 0

? Müsste da nicht der Winkelbereich nur

[0, \frac{π}{2}]

sein?

Gruß pwm

Froog

14:41 Uhr, 23.07.2020

Stimmt, das habe ich übersehen. Das Integral ändert sich aber dann nicht besonders abgesehen davon, dass

π / 2

statt

2 π

davor steht.

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