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Oberflächenvergrößerung zweier Kugelhälften

Universität / Fachhochschule

Tags: konstantes Volumen, Kugelhälften, Oberflächenvergrößerung

NeoNovalis

11:23 Uhr, 27.08.2022

Wie kann ich einfach darstellen/beweisen, dass sich die Gesamtoberfläche einer Kugel vergrößert, wenn sich bei konstant bleibendem Gesamtvolumen eine Kugelhälfte verkleinert, die andere vergrößert?

V . .

. konstantes Kugelvolumen

(=

Volumen der Kugel im Ausgangspunkt)

A 0 . .

. Oberfläche der ursprünglichen Kugel (Ausgangspunkt)

A 1, A 2 . .

. Oberfläche der Kugelhälften 1 und 2 (nach Veränderung der Radien)

V 1, V 2 . .

. Volumen der Kugelhälften 1 und 2

r . .

. Radius der ursprünglichen Kugel (Ausgangspunkt)

x . .

. Vergrößerung des Radius der Kugelhälfte 1

y . .

. Verringerung des Radius der Kugelhälfte 2

V := V 1 + V 2 . .

. Das Volumen der beiden Kugelhälften soll nach der Radiusvergrößerung/-verkleinerung dem ursprünglichen Volumen der Kugel entsprechen

Zeigen möchte ich:

A 1 + A 2 > A 0

Vernachlässigen würde ich dabei wollen, dass sich an der Schnittstelle der beiden Hälften eine zusätzliche Fläche (~vertikal zur eigentlichen Kugeloberfläche) bildet, würde man die beiden Kugelhälften (mit unterschiedlichen Radien) aneinander legen.

Meine erste Überlegung wäre, es über das A/V-Verhältnis

\frac{A}{V} = \frac{4}{r}

zu versuchen. Da das Volumen konstant bleiben soll, müsste ich statt

V

ja die jeweiligen Terme

V = A 0 \cdot \frac{r}{4}

und

V = \frac{1}{2} \cdot (A 1 \cdot \frac{r + x}{4} + A 2 \cdot \frac{r - y}{4})

gegenüberstellen können, oder? Mir fehlt aber die Idee, wie ich da die Veränderung der Gesamtoberfläche in Abhängigkeit von

x

und

y

zeigen kann.

Vielen Dank im Voraus für jede (hilfreiche) Antwort!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

11:37 Uhr, 27.08.2022

Ich verstehe dein Verkleinern/Vergrößern so, dass das nach dieser Operation nach wie vor Kugelhälften sein sollen, mit dann anderen Radien? Dabei ist aber zu bedenken, dass die Oberfläche dieses Gesamtkörpers im Fall unterschiedlicher Halbkugelradien

r_{1}

und

r_{2}

sich nicht nur aus diesen zwei halben Kugeloberflächen

2 π r_{1}^{2}

und

2 π r_{2}^{2}

besteht, sondern auch noch die Fläche eines Kreisringes

π ∣ r_{1}^{2} - r_{2}^{2} ∣

hinzukommt...

EDIT: Ok, dieses "Vernachlässigen würde ich dabei wollen, dass sich an der Schnittstelle der beiden Hälften eine zusätzliche Fläche (~vertikal zur eigentlichen Kugeloberfläche) bildet" habe ich zu spät gelesen. ;-)

NeoNovalis

11:41 Uhr, 27.08.2022

Zuerst danke für die rasche Antwort!

Ja genau. diesen Kreisring würde ich aber (vorerst) vernachlässigen wollen. In meiner Beschreibung habe ich diese Fläche laienhaft als "vertikale zur Kugeloberfläche stehende Fläche" bezeichnet, wenn man die Kugelhälften aneinander legen würde...

EDIT: und ich war mit meiner Antwort zu langsam... :-D)

HAL9000

11:48 Uhr, 27.08.2022

Genau durch diese Vernachlässigung der Kreisringfläche tritt der gegenteilige Effekt zu dem von dir vermuteten

> dass sich die Gesamtoberfläche einer Kugel vergrößert, wenn sich bei konstant bleibendem Gesamtvolumen eine Kugelhälfte verkleinert, die andere vergrößert?

ein: Die Fläche VERKLEINERT sich. ;-)

MIT Berücksichtigung der Kreisringfläche stimmt jedoch deine ursprüngliche Vermutung.

NeoNovalis

12:01 Uhr, 27.08.2022

ok, danke! :-) Da war ich offensichtlich auf dem Holzweg.

Wenn ich es (zumindest jetzt) richtig verstanden habe, wird aber die Oberfläche insgesamt (inkl. Kreisring) größer werden, oder? Kann man das halbwegs einfach (mittels Formeln) darstellen/beschreiben?

Die Oberflächenvergrößerung sollte dann meiner Vorstellung nach auch halten, wenn der Übergang von der Kugelhälfte mit größerem Radius zur Hälfte mit kleinerem Radius nicht stufenförmig, sondern verlaufend ist? Also

z . B

. wenn man eine Folie auf die ursprüngliche Kugel gelegt hat und darunter die Hälften größer und kleiner werden lässt, dann sollte sich die Folie in jedem Fall insgesamt spannen müssen, oder?

HAL9000

12:10 Uhr, 27.08.2022

Sei

V

das Volumen der Vollkugel zu Beginn, außerdem setze man für

x \in [0, 1]

mit

V_{1} = \frac{1 - x}{2} V

und

V_{2} = \frac{1 + x}{2} V

die Volumina der beiden Halbkugeln an. Die zugehörigen Radien dieser Halbkugeln sind dann

r_{1} = \sqrt[3]{\frac{3}{4 π} (1 - x) V}

und

r_{2} = \sqrt[3]{\frac{3}{4 π} (1 + x) V}

, und die Gesamtoberfläche MIT Kreisring

A (x) = 2 π (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}) + π (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) = π (r_{1}^{2} + 3 r_{2}^{2}) = \sqrt[3]{\frac{9}{16} π V^{2}} ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}} + 3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}})

.

Man kann leicht ausrechnen, dass diese Funktion

A : [0, 1] \to ℝ

bei

x_{M} = \frac{13}{14}

ein Maximum hat: D.h., vorher ist sie monoton wachsend, danach monoton fallend.

NeoNovalis

12:22 Uhr, 27.08.2022

Das bedeutet, dass sich die Oberfläche insgesamt in der Regel vergrößert, sofern ich die zwei Kugelhälften nicht "extrem" wachsen bzw. schrumpfen lasse.

Vielen herzlichen Dank!!! Das hilft mir wirklich sehr! :-)

HAL9000

12:25 Uhr, 27.08.2022

Ja. Hier noch eine Grafik: Die blaue Kurve zeigt die relative Flächenänderung OHNE, und die rote Kurve MIT Berücksichtigung der Kreisringfläche an.

NeoNovalis

13:01 Uhr, 27.08.2022

Dankeschön! :-)

NeoNovalis

14:38 Uhr, 28.08.2022

Darf ich nochmal kurz zur Fläche ohne Kreisring nachfragen? Wenn ich die Kugeloberfläche ohne Kreisring als Funktion von

x

darstellen will, würde ich auf folgendes Ergebnis kommen:

A (x) = {(\frac{9}{2} \cdot Π \cdot V^{2})}^{\frac{1}{3}} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}} + {(1 + x)}^{\frac{2}{3}})

Diese Funktion hat für

x

€

[0; 1]

ihr Maximum bei

x = 0

(mit

A (x = 0) = 2 \cdot {(\frac{9}{2} \cdot Π \cdot V^{2})}^{\frac{1}{3}})

und ist monoton fallend bis zum Minimum bei

x = 1

(mit

A (x = 1) = 2^{\frac{2}{3}} \cdot {(\frac{9}{2} \cdot Π \cdot V^{2})}^{\frac{1}{3}})

. Habe ich das richtig verstanden?

Roman-22

15:27 Uhr, 28.08.2022

Im Anhang findest du die drei Varianten dargestellt.
Betrachtest du nur beiden Halbkugeloberflächen, dann hat die Kurve tatsächlich ihr Maximum bei

x = 0

(gleich große Halbkugeln mit Radius

r)

und ihr Minimum für

x = 1

(nur eine Halbkugel mit

r . 2 = \sqrt[3]{2} \cdot r)

.
Wie HAL schon schrieb, kehrt sich das Verhalten um, wenn man die Kreisringfläche noch dazu nimmt, Das Maximum stellt sich aber nicht bei

x = 1

ein, sondern kurz davor

(x \approx 0,929)

.

Die dritte Variante verbindet die beiden Halbkugeln mit einer Torse, welche hier, unter der Annahme, dass die beiden Halbkugeln den gleichen Mittelpunkt haben, Teil einer Kegelfläche ist. Auch hier ist bei

x = 0

das Minimum, das Maximum bei

x \approx 0,989

.

Natürlich haben die Varianten mit Kreisfläche und Torse die gleichen Anfangs- und Endpunkte.

Die Werte in der Grafik beziehen sich auf den Radius

r = 1

der ursprünglichen Kugel.

EDIT: Anfangs hatte ich eine falsche Zeichnung eingestellt, bei der in der Version mit der Kegelfläche fälschlicherweise die ganze Oberfläche der kleineren Halbkugel miteingerechnet wurde. Das sollte nun behoben sein und es wird nur mehr die relevante Kalottenfläche berücksichtigt.

NeoNovalis

16:12 Uhr, 28.08.2022

Vielen Dank für die Antwort!

Ich muss zur dritten Variante nochmal nachfragen (bin mir dabei nicht ganz sicher ob ich die Begriffe Torse und Kalotte richtig verstehe). Ich hätte es jetzt so interpretiert, dass damit gemeint ist, dass der Übergang von der vergrößerten zur verkleinerten Halbkugel nicht mehr ein "vertikaler" Kreisring, sondern ein "schräger Übergang" ist. Stimmt das?

Wenn ja, bin ich mir nicht sicher,

1)

wie ich dabei den Neigungsgrad dieses Übergangs (bzw. auch die "Grundfläche der Kugel" bzw. die Oberfläche der ursprünglichen Vollkugel, die unter dieser Neigung liegt) definieren/berechnen kann. Ich nehme an, dass da der Kegel ins Spiel kommt.
und

2) :

in meiner Vorstellung würde ich jetzt den Kegel "auf die größere Halbkugel stellen und je nach Höhe des Kegels (bzw. Neigung der Kegelseitenflächen) würde dann die kleinere Halbkugel nicht mehr direkt an der größeren Halbkugel aufliegen, sondern zwischen den beiden Kugelhälften wäre dann der Stumpf des Kegels (also der Teil des Kegels zwischen Unterseite und dem Punkt, in dem sein Umfang dem Umfang der kleineren Halbkugel entspricht). Daher müsste man von beiden Halbkugeln jeweils einen Teil abschneiden, damit sich das Volumen nicht verändert (also

V = V 1 + V 2 +

VKegelstumpf). Verstehe ich das richtg? Und: lässt sich die Berücksichtigung eines geneigten Übergangs zwischen den Halbkugeln halbwegs übersichtlich

(\in

Abhängigkeit der Neigung) formelhaft darstellen?

Roman-22

16:50 Uhr, 28.08.2022

Hier eine Darstellung, wie ich die drei Varianten interpretiert habe.

1)

Große und kleine Halbkugel

2)

Große und kleine Halbkugel und Kreisring

3)

Große Halbkugel, kleine Kugelkalotte (ganz oben), dazwischen Teil eines Kegelmantels

Bei der Berechnung habe ich mich nicht mit dem Neigungswinkel der Kegelseite beschäftigt, sondern habe die entsprechenden Formeln nur mittels Verhältnisse in ähnlichen Dreiecken und mithilfe von Pythagoras herleiten lassen.
Das sind die verwendeten Endformeln:

NeoNovalis

20:34 Uhr, 28.08.2022

Vielen Dank für die Erläuterung!

Dh in dieser Variante besteht die kleiner werdende Kugelhälfte aus Kalotte und Kegel

(d . h

. das Volumen der beiden sollte sich auf das Volumen der kleineren Kugel aufsummieren, oder?)? Falls ich das richtig interpretiert habe, ist mir noch nicht ganz klar, woran ich erkenne, wie groß die Kalotte und wie groß der Kegel ist (bzw. welcher Parameter definiert das?).

Ich hab mittlerweile versucht, eine Zeichnung der Problemstellung zu erstellen. Die Varianten mit und ohne Kreisring glaub ich mittlerweile rechnen zu können. Für die Variante, bei der der Übergang von großer zu kleiner Kugelhälfte abgeschrägt ist (mit den schrägen roten Linien angedeutet), hätt ich gern noch eine exakte Berechnung gefunden, bei der ich die Neigung als zusätzlichen Parameter bestimmen kann (und die Neigung beide Kugelhälften betrifft). Ich vermute, das sollte mit dem Kegel-Kalotten-Ansatz gehen, wobei mir da aber eben der zusätzliche Parameter für die Neigung (bzw. der Anteil von Kegel und Kalotte) fehlt. Eine Annäherung würde mir da schon für die Fälle / Bandbreite reichen, wo die Neigung (der roten Linie) nicht zu flach werden (bzw. in der Zeichnung wäre dies der Fall, wenn die roten Linien steil sind).

PS: mir ist gerade aufgefallen, dass ich in der Zeichnung die Nummerierung von großer

(1)

und kleiner

(2)

Halbkugel gerade anders rum als in den Formeln gesetzt habe...

Roman-22

20:57 Uhr, 28.08.2022

>

Dh in dieser Variante besteht die kleiner werdende Kugelhälfte aus Kalotte und Kegel

(d . h

. das Volumen der beiden sollte sich auf das Volumen der kleineren Kugel aufsummieren, oder?)? Falls ich das richtig interpretiert habe, ist mir noch nicht ganz klar, woran ich erkenne, wie groß die Kalotte und wie groß der Kegel ist (bzw. welcher Parameter definiert das?).

Ich darf daran erinnern, dass es sich um DEINE Problemstellung handelt!
Du hattest von zwei Kugelhälften geschrieben, welche zusammen ein bestimmtes Volumen haben und wolltest über dieses Gespann eine Folie spannen und deren Oberfläche betrachten, wenn sich die Kugelhälften ändern, aber immer das gleiche Summenvolumen haben.
Über das Luftvolumen zwischen Folie und Kugelhälften hattest du nichts angedeutet und so wurde es von mir auch nicht berücksichtigt.

Meine obigen Ausführungen basieren auf meinem Verständnis der Problemstellung. Falls ich diese fehlinterpretiert habe, müsstest du bei der Problemstellung nachbessern und präzisieren, worum es dir geht.

>

Für die Variante, bei der der Übergang von großer zu kleiner Kugelhälfte abgeschrägt ist (mit den schrägen roten Linien angedeutet), hätt ich gern noch eine exakte Berechnung gefunden,
Deine "Abschrägung" hat wenig mit der von mir ins Spiel gebrachten dritten Varianten zu tun. Du müsstest dabei auch noch genauer spezifizieren, wie genau diese Abschrägung angebracht werden soll und welche Volumina genau du betrachten möchtest. Bei der in deiner Zeichnung Zeichnung eingetragenen Variante wird ja die größere Kugel beschnitten!
Ich habe zur Verdeutlichung in deine Zeichnung eingetragen, wie meine dritte Variante zu verstehe ist. Der orangene Teil ist der Kegelstumpfmantel, der grüne ist die Kugelkalotte. Der Kegel hat den Großkreis der größeren Kugel als Basiskreis und wird berührend an die kleinere Kugel gelegt. So wie ich mir eben vorstelle, dass sich (idealisiert) eine Folie verhalten würde.
Die benötigten Formeln hatte ich dir auch genannt. Für die Variante 3 musst du die Summe O_(Halbkugel2)(x)+O_(Kegel)(x)+O_Kalotte(x) für die Folienoberfläche bilden.
Was die Volumina anlangt, so gilt in allen meinen Varianten der Ansatz von HAL. Nur die Summe der Halbkugelvolumina ist immer konstant und ident mit dem Volumen

V

der ursprünglichen Vollkugel.

Vielleicht kannst du auch mehr darüber erzählen, worum es letztlich hier geht.

NeoNovalis

21:47 Uhr, 28.08.2022

stimmt, das mit der Folie war von mir absolut unklar formuliert. Mir ist da zu dem Zeitpunkt leider nichts Besseres eingefallen, um meine Zusatzfrage zu beschreiben. Sorry!

Der Lösungsansatz mit dem Kegel hat mir meine (erweiterte) Problemstellung selbst erst klarer werden lassen (und durch die letzte Antwort ist mir jetzt auch noch klar geworden, dass es im Fall einer gespannten Folie für die Problemstellung, wie ich sie falsch formuliert habe, eben nur genau eine Lösung geben kann).

Ich versuche es nochmals. Ich hoffe, es gelingt mir diesmal besser:
Mein Ausgangspunkt ist eine Vollkugel mit Radius

r

. Diese Kugel ist an ihrer Oberseite mit einer festen Kruste bedeckt. Ich möchte zeigen, dass sich diese feste Kruste dehnen muss

(=

Vergrößerung der Oberfläche), sobald bei gleichbleibendem Volumen an der Oberfläche Höhenunterschiede entstehen, und dies mittels einfachem Beispiel zweier Kugelhälften mit unterschiedlich großen Radien beschreiben. Danach wollte ich mir die Schnittstelle der beiden Kugelhälften im Detail anschauen und statt einer "Stufe" (Kreisring) einen "verlaufenden" Übergang zulassen. Das soll für eine biegsame, dehnbare Kruste stehen, die sich aber nicht stufenförmig knicken lässt (daher bin ich auf den Begriff Folie gekommen).

Ursprünglich dachte ich, dass ich mich darauf konzentriere, die Änderung der Oberflächengröße mithilfe der Formeln für Volumen und Oberfläche einer Kugel exakt zu beschreiben, den Übergang (am Kreisring) dann aber vereinfache, in dem ich nicht mehr von zwei aufeinandertreffenden Halbkugeln (mit Krümmung), sondern von zwei Ebenen mit dazwischenliegender "Hangneigung" ausgehe. Die Ungenauigkeit, die sich durch die Vernachlässigung der Krümmung der Kugeloberfläche ergibt, hätte ich ursprünglich in Kauf genommen. Nachdem ich aber gesehen habe, dass sich das erste Problem für mich verständlichen Ansatz exakt (mit und ohne Kreisring) darstellen lässt, habe ich zu hoffen begonnen, dass ich vielleicht das gesamte Problem gut formelhaft exakt beschreiben kann und (vorschnell) die ergänzende Frage mit der irreführenden Folie gestellt.

Die Zusatzfrage lautet eigentlich: Wird die Oberfläche nach wie vor größer, wenn bei einem bestimmten

x

die Oberfläche der Halbkugeln inkl. Kreisring größer als die ursprüngliche Vollkugel ist, der Übergang zwischen den beiden Halbkugeln aber nicht stufenförmig (wie der Kreisring) verläuft, sondern abgeflacht? Wenn ja, gibt es eine "Neigung" des Übergangs, ab dem die Gesamtoberfläche nicht mehr größer als die ursprüngliche Oberfläche ist?

Ich hoffe, ich habe das jetzt ausreichend klar formuliert.

Vielen Dank für Eure Zeit und Hilfe!!!

NeoNovalis

21:53 Uhr, 28.08.2022

Vielen Dank für die zusätzlichen Erläuterungen (die hat es mir zuerst noch nicht angezeigt)!

Ja, ich würde bei dem Übergang gerne auch einen Teil der größeren Halbkugel "abtragen" und unter die "Hangneigung" auf der Seite der kleineren Halbkugel verschieben. Ich hoffe, meine zusätzliche Beschreibung war ausreichend klar, warum ich das gerne so modellieren möchte.

[

EDIT:] by the way: Vielen Dank für die Erklärung zu Kalotte und Kegel! Sobald ich erkannt habe, dass ich die Problemstellung irreführend formuliert hatte, war die Erklärung für mich sehr gut nachvollziehbar.

Roman-22

01:19 Uhr, 29.08.2022

An sich ist es ja eine bekannte Tatsache, dass unter allen Körpern gleichen Volumens die Kugel jener mit der kleinsten Oberfläche ist.

Da du das praktische Beispiel mit der Kruste bringst, nehme ich an, dass es dir nicht um den formalen Beweis dieser Sachlage geht und du vielleicht für deine Zwecke diese Tatsache als bekannt voraussetzen und einfach zitieren darfst.
Damit wäre dann auch klar, dass zwangsläufig jedwede Formänderung, die das Volumen gleich lässt, zu einer größeren Oberfläche führen muss.
Damit lässt sich auch deine Frage "gibt es eine "Neigung" des Übergangs, ab dem die Gesamtoberfläche nicht mehr größer als die ursprüngliche Oberfläche ist?" mit einem klaren NEIN beantworten - wenn der Körper keine Kugel ist, dann ist seine Oberfläche immer größer. Unabhängig davon, wie immer man diesen schrägen Übergang auch genau modelliert, denn das müsstest du im Bedarfsfall noch viel genauer spezifizieren und ich vermute, dass das eine Rechnung extrem unangenehm machen würde, denn die beiden Kugelradien wären dann ja nicht mehr so einfach voneinander abhängig.

Deine Versuche wären als allgemeiner Beweis ja auch überhaupt nicht zielführend. Denn wie immer du die Abweichung von der Kugelform auch modellierst und dann zeigst, dass sich dabei die Oberfläche vergrößert, wäre damit ja noch lange nicht gezeigt, dass nicht vielleicht eine ganz andere Formänderung doch noch zu einer kleineren Oberfläche führen könnte.

In diesem Zusammenhang ist vielleicht dieser Thread beim Matheplaneten auch interessant:
matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=108134

NeoNovalis

11:39 Uhr, 29.08.2022

Vielen Dank für die Erklärungen!

Wenn ich min(Oberfläche : Volumen) = Kugel als allgemein bekannten Zusammenhang voraussetzen kann, ist mir das in der Tat am liebsten. Ich bin aber trotzdem sehr froh über euer beider Antworten, und dass ich diese Extraschleife gegangen bin, den Zusammenhang formelhaft darstellen zu wollen. Dadurch sind mir einige Details meiner Fragestellung, die ich berücksichtigen sollte, selbst erst so richtig klar geworden. Vielen Dank! :-)

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