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Oberlächenintegegral Ellipsoid

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Ellipsoid, Integration, Oberflächenintegral

fisher18 aktiv_icon

12:25 Uhr, 04.07.2011

Hallo,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich wirklich nicht weiterkomme. Und zwar:

"Berechne die räumlichen Bereichsintegrale

a)

\int_{B} z d (x, y, z)

B ist die obere Hälfte des Ellisoides

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

\int_{B} z^{2} d (x, y, z)

B ist Durchschnitt der Kugeln

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1, x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2 z

. "

Zuerst einmal: was ist ein "räumliches Bereichsintegral"? Ein Volumenintegral oder ein Oberflächenintegral? Muss ich also den Mantel des Ellipsoids oder das Volumen ausrechnen?
Ich bin mal davon ausgegangen, dass es ein Oberflächeintegral ist:

Bei a) habe ich es mit ellipt. Koordinaten (

x = a c o s (φ) s i n (θ), y = b s i n (φ) s i n (θ), z = c c o s (θ)

mit dem Ansatz

\sqrt{E G - F^{2})}

versucht, aber das funktionierte nicht.

Ich weiß wirklich nicht, wie ich da ansetzen soll, auch bei b) nicht.

Hoffe, jemand kann helfen.

Grüße
fisher

fisher18 aktiv_icon

16:46 Uhr, 04.07.2011

Kann wirklich keiner helfen?
Ich finde keinen Ansatz. Bisher ist es mir nur gelungen, den Mantel des Ellipsoids mithilfe der Rotation einer Ellipse/Guldinsche Regel zu bestimmen.

Grüße
fisher

Yokozuna aktiv_icon

23:57 Uhr, 04.07.2011

Hallo,

ich habe mir mal nur die Aufgabe

a)

angeschaut. Ich bin mir ziemlich sicher, daß die Integration über ein Volumen und nicht über eine Oberfläche durchzuführen ist. Da deutet unter anderem auch die Abkürzung

d (x, y, z)

hin, die wohl für

d x \cdot d y \cdot d z

steht. Die elliptischen Koordinaten lauten:

x = a \cdot r \cdot cos (φ) \cdot sin (θ)

y = b \cdot r \cdot sin (φ) \cdot sin (θ)

z = c \cdot r \cdot cos (θ)

(Ich kenne eigentlich die Variante, daß bei

x

und

y

der

cos (θ)

und bei

z

der

sin (θ)

steht, wobei

θ

von

- \frac{π}{2} (=

Südpol) bis

+ \frac{π}{2} (=

Nordpol) läuft. Bei Deinen elliptischen Koordinaten läuft

θ

von

0 (=

Nordpol) bis

π

(=Südpol))
Die Funktionaldeterminante lautet für Deine Variante

- a \cdot b \cdot c \cdot r^{2} \cdot sin (θ)

und das Volumenelement ist entsprechend

- a \cdot b \cdot c \cdot r^{2} \cdot sin (θ) \cdot

\cdot d φ \cdot d θ

r

läuft von 0 bis

1, φ

läuft von 0 bis

2 π

und

θ

läuft von

\frac{π}{2}

bis 0. Damit sieht das Integral so aus:

\int_{\frac{π}{2}}^{0} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} c \cdot r \cdot cos (θ) \cdot (- a \cdot b \cdot c \cdot r^{2} \cdot sin (θ)) \cdot

\cdot d φ \cdot d θ =

- c \cdot \int_{\frac{π}{2}}^{0} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r^{3} \cdot sin (θ) \cdot cos (θ) \cdot

\cdot d φ \cdot d θ =

- \frac{c}{2} \cdot \int_{\frac{π}{2}}^{0} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r^{3} \cdot 2 \cdot sin (θ) \cdot cos (θ) \cdot

\cdot d φ \cdot d θ =

- \frac{c}{2} \cdot \int_{\frac{π}{2}}^{0} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r^{3} \cdot sin (2 \cdot θ) \cdot

\cdot d φ \cdot d θ

Am Schluß habe ich benutzt, daß

sin (2 \cdot θ) = 2 \cdot sin (θ) \cdot cos (θ)

ist. Die Berechnung dieses Integrals überlasse ich erst mal Dir.

Zur Aufgabe

b)

versuche ich mir morgen mal was zu überlegen.

Viele Grüße
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

10:12 Uhr, 05.07.2011

So, nun zur Aufgabe

b)

.
Der Integrationsbereich ist der Schnittbereich zweier Kugeln (siehe Bild unten) jeweils mit Radius 1. Der Mittelpunkt der ersten Kugel ist

(0,0,0)

und der der zweiten Kugel

(0,0,1)

. Die Strecke AB ist der Durchmesser des Schnittkreises. Der Radius

ρ =

AC des Schnittkreises ist gleich der Höhe des gleichseitigen Dreiecks

A M_{1} M_{2},

also

\frac{\sqrt{3}}{2}

. Die Projektion des Schnittkreises auf die xy-Ebene wird durch die Strecke DE dargestellt. Das ist das Integrationsgebiet in der xy-Ebene. In z-Richtung wird integriert von der unteren Begrenzung der oberen Kugel (rot dargestellt) bis zu oberen Begrenzung der unteren Kugel (grün dargestellt). Ich benutze deshalb Zylinderkoordinaten:

x = r \cdot cos (φ)

y = r \cdot sin (φ)

z = z

φ

geht von 0 bis

2 π, r

geht von 0 bis

\frac{\sqrt{3}}{2}

und

z

geht von

1 - \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} = 1 - \sqrt{1 - r^{2}}

bis

\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} = \sqrt{1 - r^{2}}

Da die Integrationsgrenzen von

z

von

r

abhängen, muß man zuerst über

z

integrieren, bevor man über

r

integriert. Das Integral lautet dann:

\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \int_{1 - \sqrt{1 - r^{2}}}^{\sqrt{1 - r^{2}}} \int_{0}^{2 π} z^{2} \cdot r \cdot d φ \cdot d z \cdot

dr
Jetzt kannst Du mal versuchen das Integral zu berechnen (es ist ein bischen mehr Arbeit, als bei

a),

aber durchaus lösbar).

Viele Grüße
Yokozuna

fisher18 aktiv_icon

14:21 Uhr, 05.07.2011

Vielen Dank, Yokozuna! Ich werde die Integrale gleich heute abend ausrechnen, wenn ich Zeit habe.

Aber bei b) verstehe ich etwas nicht: woher weißt du, dass der Radius der Kugel

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 z

1 ist und der Mittelpunkt bei

(0, 0, 1)

liegt? Kann man das irgendwie analytisch herausfinden oder muss man es zeichnen?

Grüße
fisher

Yokozuna aktiv_icon

14:27 Uhr, 05.07.2011

Das kann man natürlich analytisch herausfinden:

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 z \Rightarrow

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 z = 0 \Rightarrow

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 z + 1 = 1 \Rightarrow

x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1

Viele Grüße
Yokozuna

fisher18 aktiv_icon

14:27 Uhr, 05.07.2011

Nochmals dankeschön! ;-)

(edit: kann irgendwie kein Häkchen mehr druntersetzen)

Grüße
fisher

fisher18 aktiv_icon

18:01 Uhr, 05.07.2011

- \frac{a b c^{2}}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{0} \int_{0}^{\ 2 π} \int_{0}^{1} r^{3} s i n (2 θ) d r d φ d θ = - \frac{π a b c^{2}}{4} * [- 0, 5 c o s (2 θ)]_{π / 2}^{0} = \frac{π a b c^{2}}{4}

.

Grüße
fisher

Yokozuna aktiv_icon

18:12 Uhr, 05.07.2011

Ja, das Ergebnis habe ich auch bekommen.

Viele Grüße
Yokozuna

fisher18 aktiv_icon

18:26 Uhr, 05.07.2011

2 π * \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \int_{\sqrt{1 - r^{2}}}^{1 - \sqrt{1 - r^{2}}} z^{2} r d z d r = 2 π * \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r * [\frac{z^{3}}{3}]_{1 - c o s (u)}^{c o s (u)} d r = 2 π * \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 c o s^{3} (u) - 1}{3} * s i n (u) c o s (u) d u = \frac{2 π}{3} * [\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 s i n (u) c o s^{4} (u) d u - \int_{0}^{\frac{π}{3}} s i n (u) c o s (u) d u]

,

Hoffe mal, das stimmt.

Grüße
fisher

Yokozuna aktiv_icon

20:28 Uhr, 05.07.2011

Das sieht nicht richtig aus. Ich nehme an, Du hast

r = sin (u)

substituiert. Zum einen sollten die Grenzen anders herum sein

(cos (u)

unten und

1 - cos (u)

oben) und der Integrand stimmt auch nicht.

2 π \cdot \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r \cdot [\frac{z^{3}}{3}

]

_(cos(u))^(1-cos(u))*dr

= \frac{2 π}{3} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{3}} sin (u) \cdot [{(1 - cos (u))}^{3} - {cos}^{3} (u)] \cdot cos (u) \cdot

du =

\frac{2 π}{3} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{3}} sin (u) \cdot [1 - 3 \cdot cos (u) + 3 \cdot {cos}^{2} (u) - {cos}^{3} (u) - {cos}^{3} (u)] \cdot cos (u) \cdot

du =

\frac{2 π}{3} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{3}} [1 - 3 \cdot cos (u) + 3 \cdot {cos}^{2} (u) - 2 \cdot {cos}^{3} (u)] \cdot sin (u) \cdot cos (u) \cdot

du
Da scheint mir bei Dir in der eckigen Klammer was zu fehlen. Was noch weiter rechts steht, kann ich nicht mehr lesen, da fehlt offenbar ein Zeilenumbruch.

Viele Grüße
Yokozuna

fisher18 aktiv_icon

20:44 Uhr, 05.07.2011

Ärgerlich, ich habe obere und untere Grenze vertauscht. Einigen wir uns darauf, dass es auf die Rechnerei sowieso nicht ankommt und dass ich darin schon immer schlecht war.;-)

Yokozuna aktiv_icon

20:55 Uhr, 05.07.2011

Falls Du doch noch weiterrechnen willst, mein Ergebnis ist

\frac{59}{480} π

.

Viele Grüße
Yokozuna

902519

902171

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