Ökonomische Anwendung der Kurvendiskussion

also ich kann zumindest manche Fragen hier auflösen:

a) Gewinnfunktion: G(x) = E(x) - K(x)

K(x) erhältst du, indem du einfach die Fixkosten zu den variablen Kosten addierst (in diesem Fall!):

${\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\frac{15}{2}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+16}$

G(x) ist somit:

${\displaystyle \mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-16}$

Die Stückkostenfunktion k erhältst du durch k = K/x:

${\displaystyle \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4-\frac{16}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

b) Die Gesamtkostenfunktion hab ich oben schon beschrieben (K(x)). Die Wendestelle rechnest du einfach aus, indem du die zweite Ableitung gleich Null setzt. Du erhältst dann x = -2. Wenn du dieses x in die Gesamtkostenfunktion (nicht in die Ableitung!) einsetzt, erhältst du K = 9. Das sind dann die Gesamtkosten an der Wendestelle K(-2) = 9

c) Die Gewinnzone wird durch die Nullstellen der Gewinnfunktion begrenzt. Nullstellen ausrechnen (x = 2 und x = 6,47) und als Intervall hinschreiben:

Gewinnschwelle: bei 2 ME (Mengeneinheiten)
Gewinngrenze: bei 6,47 ME ~ 6 ME
Gewinnzone: [2; 6,47]

d) Das Gewinnmaximum erhältst du, wenn du die erste Ableitung der Gewinnfunktion gleich Null setzt. Die quadratische Ableitung gibt x = - 0,58 und x = 4,582 als Lösung. Logischerweise musst du die zweite nehmen (negativer Gewinn ist ein Verlust also kein Gewinnmaximum)
Dieses x musst du dann in die Gewinnfunktion einsetzen und erhältst dadurch für G(max) = 17,21 WE (Werteinheiten oder €)

e) Die Grenzkostenfunktion ist durch K' = 0 (also die erste Ableitung von K) definiert. Du möchtest jetzt die Menge, bei der die Grenzkosten = 7,50 € sind. Also musst du die Gleichung 7,5 = K' lösen:

$$\begin{gathered} {\displaystyle 7,5=\frac{3}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-6\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{15}{2} \\ 0=\frac{3}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-6\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

damit bekommst du x = 4 heraus. K' (4ME) = 7,5 WE oder €

g) Das Betriebsoptimum (BOP) liegt bei den minimalen Stückkosten also bei k -> min. Daher: k einmal ableiten und gleich Null setzen:

${\displaystyle {\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }=-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3+\frac{16}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$

Dann bekommst du x = 4 heraus.

h) Der Cournot'sche Punkt ist als die absetzbare Menge bei maximalem Gewinn ist. Also Gmax (haben wir vorher bei x = 4,582 berechnet) in die Preisfunktion einsetzen. Mir kommt es etwas komisch vor, dass deine Preis"funktion" eine reine Konstante ist....

Hilft dir das weiter? Wenn du einen Rechengang genauer brauchst, schreib einfach noch mal.

also ich komm auf folgendes:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\frac{15}{2}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+16 \\ {\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{3}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-6\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{15}{2} \\ {{\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{6}{2}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+6=3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+6} \end{gathered}$$