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Offene Teilmenge als Vereinigung offener Kugeln
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Mengentheoretische Topologie
Tags: Maßtheorie, Mengentheoretische Topologie, offene Kugel, offene menge, Vereinigung
 
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Hallo, ich hänge derzeit an der Aufgabe im Anhang. Mein Ansatz zur (a) wäre auszunutzen, dass dicht in liegt. Man muss doch einen beliebigen Punkt (mit rationalen Koordinaten) auswählen, der in liegt. Dann muss man doch nur den Radius klein genug wählen, sodass die ganze Kugel noch in enthalten ist. Aber wie zeige ich das rigoros? Zur (b) habe ich leider noch keinen Ansatz. Danke für Hilfe. VG KTest00  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Aber wie zeige ich das rigoros?" nehmen, (rational) so finden, dass für alle , dann wählen und Dreiecksungleichung nutzen. |
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"Zur (b) habe ich leider noch keinen Ansatz." Nutze (a) und die Tatsache, dass abzählbar ist. |
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Danke schonmal für die Antwort. Mir ist allerdings nicht ganz klar, wie ich hier die Dreiecksungleichung verwenden soll? |
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Um zu zeigen, dass ist. => => x\in B_r(a) Davor muss man natürlich zeigen, dafür war die Wahl von . |
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Sorry, dass ich schon wieder so blöd fragen muss, aber irgendwie kann ich deine Rechnung nicht ganz nachvollziehen. |
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An welcher Stelle genau? |
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Diese Implikation: |
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Das ist die Dreiecksungleichung. Kennst Du sie? |
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Also ich kenne die Dreiecksungleichung als Ich weiß nicht, vielleicht bin ich einfach gerade nur blind, aber irgendwie komme ich damit nicht auf deine Gleichung: ist das einzige was ich damit hinbekomme in der Richtung. |
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Ja, blind trifft es gut. :-) . |
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Okay, ja, da war ich blind ;-) Danke schonmal für die Hilfe und Geduld. Eine (eventuell wieder so blöde) Frage zur (a) habe ich noch: Wie genau folgt denn aus , dass ? Hängt dies mit der Definition der Norm zusammen? Nun zur (b): Meine Idee wäre: Es gibt für die offene Teilmenge (sei diese hier als A bezeichnet) (offensichtlich?) offene Kugeln, sodass die Vereinigung dieser offenen Kugeln gerade A ist. Aus (a) folgt nun, dass jede dieser offenen Kugeln eine rationale Zahl enthält und da die rationalen Zahlen abzählbar sind, so muss auch die Menge dieser offenen Kugeln abzählbar sein. Macht die Argumentation Sinn und ist die Existenz dieser Vereinigung tatsächlich offensichtlich? |
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--- (Dieser Beitrag kann gelöscht werden, Frage steht im Beitrag obendrüber) --- |
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"Hängt dies mit der Definition der Norm zusammen?" Ja. "Macht die Argumentation Sinn und ist die Existenz dieser Vereinigung tatsächlich offensichtlich?" Grundsätzlich ja, aber man kann es einfacher und präziser schreiben. Menge ist offen => es gibt für jeden einzelnen Punkt aus eine Kugel , welche komplett in der Menge liegt. Nach a) gibt's eine Kugel mit dem rationalen Zentrum, welche enthält und in liegt, also auch in der Menge selber. Man kann dabei auch rational wählen. Jetzt ist klar, dass einerseits jeder Punkt in der Vereinigung liegt und damit gilt und andererseits nach Konstruktion. Also, und die Vereinigung ist abzählbar. |
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Danke sehr :-) Mir ist jedoch noch eine Frage aufgefallen. In (a) wurde explizit gefordert, dass s rational sein muss, aber für s = r/2 ist dies doch nicht notwendigerweise gegeben, oder? Dann müsste das doch noch gezeigt werden? |
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Ja, für b) braucht man rationales . Wenn nicht rational ist, nimmt man halt eine kleinere rationale Zahl. |
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Alles klar, dann vielen Dank für die Hilfe :-) |
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