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Offene Teilmengen des R^n

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Differentialtopologie

Mengentheoretische Topologie

Tags: Homöomorphismus, lokal homöomorph, Topologie

Bruno Math

16:11 Uhr, 10.12.2017

Hi, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei

n \in ℕ

und

U \subseteq ℝ^{n}

. Zeigen Sie, dass U lokal homöomorph zu

ℝ^{n}

ist.

Nach Definition ist ein topologischer Raum X lokal homöomorph, wenn es zu jedem

x \in X

eine Umgebung U und einen Homöomorphismus

φ_{x} : U \to ℝ^{n}

gibt.
Alternativ, wenn es zu jedem

x \in X

eine Umgebung U, eine offene Kugel

B_{ε} (t) = (t - ε, t + ε)

mit

t \in ℝ^{n}

und

ε > 0

und einen Homöomorphismus

φ_{x} : U \to B_{ε} (t)

gibt.

Mein "Beweis" lautet:
Da U nach Voraussetzung offen ist, existiert zu jedem Punkt

x \in U

eine offene Umgebung

V \subseteq U

. Sei nun

s \in V

, dann erhalten wir mit

φ_{x} : V \to B_{ε} (t) = (t - ε, t + ε), s \mapsto ε * \frac{s}{\sqrt{1 + s^{2}}} + t

einen Homöomorphismus und damit ist die Behauptung bewiesen.

Kann man den Beweis so machen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:26 Uhr, 10.12.2017

(t - ε, t + ε)

liegt nicht in

ℝ^{n}

. Nur für

n = 1

Bruno Math

19:54 Uhr, 10.12.2017

Wie kann ich

(t - ε, t + ε)

denn auf

ℝ^{n}

erweitern? Indem ich vielleicht

\prod (t - ε, t + ε)

setze?

DrBoogie aktiv_icon

20:24 Uhr, 10.12.2017

"Nach Definition ist ein topologischer Raum X lokal homöomorph, wenn es zu jedem"

Das ist im Übrigen falsche Definition, natürlich kann die Umgebung nicht zu ganz