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Offene Teilmengen einer Teilmenge in C
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Definition, Mengentheoretische Topologie
 
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Ich füge den Inhalt des Skriptes ein von der Stelle, die ich nicht verstehe: _________________________________________________________________________________ Wir haben bisher Umgebungen von Punkten in und definiert, nämlich als Teilmengen, die ein offenes Intervall, bzw. eine offene Scheibe um den Punkt erhalteb. Der Umgebungsbegriff vererbt sich von auf beliebige Teilmengen Zunächst ist in Verallgemeinerung der offenen Intervalle und Scheiben, der offen Ball mit Radius bzw. r- in D um einen Punkt definiert als Also und . Eine eines Punktes ist nun eine Teilmenge , die für ein den -Ball um enthält, Weiter heißt eine Teilmenge in , wenn sie Umgebung jedes iherer Punkte ist. Alle offenen -Bälle in sind offen im Sinne dieser Definition (als Konsequenz der Dreiecksungleichung).Die offenen Teilmengen sind daher genau die Vereinigungen offener Bälle. Weiter ist eine Teilmenge genau dann Umgebung eines Punktes in , wenn sie eine offene Teilmenge enthält, in welcher dieser Punkt liegt. __________________________________________________________________________________ Ich habe Schwierigkeiten den letzten Abschnitt zu verstehen, um genau zu sein die letzten beiden Aussagen. "Die offenen Teilmengen sind daher genau die Vereinigungen offener Bälle" - was bedeutet das 'genau'. Ich glaube es soll bedeuten, dass wenn ich eine offene Teilmenge habe ich sie dann durch die Vereinigung von Bällen beschreiben kann (s. Bild für DETAILS). Inwiefern wurde das hier bewiesen? Zur Aussage: Eine Teilmenge genau dann Umgebung eines Punktes in , wenn sie eine offene Teilmenge enthält, in welcher dieser Punkt liegt. Sei Teilmenge Umgebung eines Punktes offene Teilmenge ,die den Punkt enthält. Wie zeigt man die andere Richtung?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, "Die offenen Teilmengen sind daher genau die Vereinigungen offener Bälle" bedeutet in der Tat "Eine Teilmenge ist genau dann offen (in ), wenn sie Vereinigung offener (-)Bälle ist". Welches Argument fehlt dir, um dies als bewiesen zu erachten? Welche Aussage meinst du mit "Wie zeigt man die andere Richtung?" Gruß ermanus |
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Ich geb dir mal einen ganz heißen Tipp. Besorg dir mal das " Franzbändchen " Topologie ( Prof. Franz / Frankfurt ) Der fängt also bei Null an. Dazu kommt, dass die Topologie ja fast noch allgemeine Mengenlehre ist . Wohltuend finde ich, dass die Topologie keinerlei Trickbeweise kennt; ihre Aussagen sind durchweg intuitiv nachvollziehbar. Bekannt ist . dass Studenten, die im ersten Semester der reellen Analysis nur mit Mühe zu folgen vermochten, sich nach der Topologie beschweren " Warum haben Sie uns nicht gleich gesagt, dass nichts weiter ist als ein Beispiel für einen metrischen Raum? " Die Mathematik schreitet stets Bottom_up voran; schon auf der Ebene allgemeinster Topologie sind die Begriffe Grenzwert und Stetigkeit erklärt. Es gibt auch den Begriff der Homomorphie, das ist sone Art Isomorphie zwischen zwei topologischen Räumen. |
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In seiner Axiomatik führt Franz aus: Die Vereinigung von beliebig vielen ( also auch über-über-über . ) abzählbar vielen Mengen ist immer wieder offen. Kugelumgebungen ( " €-Kugeln " ) gibt es ja nur in metrischen räumen. Beim Franz findest du sicher den Beweis, dass sich jede offene Menge schreiben lässt als Vereinigung über Kugelumgebungen. |
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Angenommen ich habe eine offene Teilmenge, dann bedeutet das per Definition, dass diese Menge eine Umgebung ist von allen Punkten die in dieser Teilmenge enthalten sind. Da die Teilmenge also eine Umgebung von jeden Punkt ist liegt jeder Punkt in einem offenen Ball, alle offenen Bälle liegen in der Teilmenge. Die Vereinigung liegt also ebenfalls in der Teilmenge. Die Vereinigung aller Bälle enthält alle Punkte der Teilmenge und ist auch offen deswegen liegt die Teilmenge auch in der Vereinigung. Und deswegen lässt sich die Teilmenge auch als Vereinigung von offenen Bällen beschreiben. Die andere Richtung ist offene Teilmenge, die den Punkt enthält eine Umgebung dieses Punktes. Offene Teilmenge bedeutet Umgebung für jeden Punkt in dieser Menge, also auch Umgebung von jenem Punkt. Kannst du mir sagen ob diese Argumentation so richtig ist oder habe ich etwas falsch verstanden? |
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@godzilla Danke für deinen Vorschlag, wenn ich erstmal auf sicheren Beinen stehe bei Analysis und Lineare Algebra werde ich mir gerne das Buch mal anschauen. Für Analysis habe ich am Anfang Analysis 1 von Stephan Hildebrandt als Ergänzung zur Vorlesung benutzt, allerdings schaffe ich es nicht zeitlich parallel Aufgaben im Buch zu bearbeiten und der Vorlesung zu folgen |
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Hallo RM777, ich finde deine Argumentation korrekt und vollständig :-) Gruß ermanus |
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Alles Klar - Danke |
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