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Offene und abgeschlossene Mengen
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Mengentheoretische Topologie
Tags: abgeschlossene Mengen, innere Punkte, Mengentheoretische Topologie, offene menge, Randpunkt
 
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Hallo, Ich habe ein Verständnisproblem mit inneren Punkten und Randpunkten. Habe mir schon diverse Definitionen durchgelesen und Videos angeschaut. Zwar verstehe ich es jetzt besser, aber bei einigen Aufgaben verstehe ich wiederum nichts. Einfache wären zb: . Die inneren Punkte wären ja und die Randpunkte . Da die 3 nicht in der Menge enthalten ist, ist die Menge offen. . I . . Menge abgeschlossen, da die Randpunkte in der Menge liegen. Aber hier fängt es bei mir an zu haken: Da habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen sollte. Laut der Lösung ist die Menge der Inneren Punkte die leere menge und die Menge der Randpunkte gleich M. Also abgeschlossen. Aber wieso? Wenn ich ehrlich bin, verstehe ich auch den Ausdruck nicht genau. Zeigen die runden Klammern jetzt das Interval an, oder handelt sich es hierbei um einen Punkt der Form ? Wenn es sich um einen Punkt handeln würde, macht das dann wieder Sinn, da es keine Inneren Punkte gibt und mit nur einem Punkt, der in der Menge drinne ist, wäre es ja ein Randpunkt und so auch abgeschlossen. Über Hilfe würde ich mich freuen! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, > (3,7]. Die inneren Punkte wären ja (3,7) Korrekt. > und die Randpunkte {3,7}. Das hängt von der Grundmenge ab! Ist die Grundmenge selbst, so ist 3 kein Randpunkt. Er liegt schlicht nicht im Universum! > Da die 3 nicht in der Menge enthalten ist, ist die Menge offen. Nee. Wo hast du denn so eine Definition her. Richtig ist vielmehr: * Gehören ALLE Randpunkte zur Menge, dann ist die Menge abgeschlossen. * Gehört KEIN Randpunkt zur Menge, dann ist die Menge offen. Nehmen wir als Grundmenge an, dann hast du recht damit, dass 3 und 7 Randpunkte sind. Einer (7) gehört mit zur Menge, aber ein anderer (3) nicht. Daher ist die Menge weder offen noch abgeschlossen. Vielleicht kennst du: Eine Menge ist offen genau dann, wenn gilt: (Dabei sei die Menge der Randpunkte von .) In dem Zusammenhang sollte bekannt sein: ist abgeschlossen genau dann, wenn gilt: Ok? dann weiter. > {(x,y)∈R2|y=3−x} Bestimme zunächst einmal den Rand. Folgende Verständnisschwierigkeit > Zeigen die runden Klammern jetzt das Interval an, oder handelt sich es hierbei um einen Punkt der Form (x,y)? ist leicht ausgeräumt. Es hängt vom Kontext ab. Wäre ein Intervall, wäre die Aufgabe doch sinnlos, da unverständlich. Wenn damit ein Punkt gemeint sein sollte, dann könnte man damit wenigstens was anfangen, wie du ja selbst schreibst. Mfg Michael |
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Danke, habs nun verstanden! Und ja, das mit der offenen Menge war ein Denkfehler von mir. Mir war klar, dass wenn nur ein Teil der Randpunkte in der Menge ist, die Menge trotzdem nicht offen ist und auch nicht abgeschlossen. Wir gehen auch immer von der Grundmenge aus. |
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