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Offene und abgeschlossene Mengen

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

erstii

11:35 Uhr, 26.11.2017

Hallo Leute,

ich brauche bei der folgenden Aufgabe mal einen Denkanstoß.
Weil ich das Gefühl hab, dass bei den folgenden Aufgaben es das Schwierigste ist erst einmal auf die Beweisidee zu kommen, ist es auch in Ordnung, wenn mir einfach die Lösung genannt wird.
Dann habe ich schonmal ein Musterbeispiel was mir evtl. bei den restlichen Aufgaben hilft.

Zur Aufgabe:

Welche der folgenden Teilmengen von

ℝ \times ℝ

sind offen, welche sind abgeschlossen?
Begründen Sie Ihre Entscheidung und skizzieren Sie die Mengen.

b) A_{2} = {(x, y) \in ℝ \times ℝ | y = 0}

Unsere Definition von einer offenen/abgeschlossenen Teilmenge

U :

Seien

(X, d)

ein metrischer Raum und

U \subset X

eine Teilmenge.
Ein Punkt

p \in U

heißt innerer Punkt von

U,

falls es ein

ε > 0

gibt, so dass

B_{ε} (p) \subset U

. Die Teilmenge

U

heißt offen in

X,

falls jeder Punkt

p \in U

ein innerer Punkt ist.
Eine Teilmenge

A \subset X

heißt abgeschlossen, falls das Komplement

X \ A

offen ist.

Der Ball ist definiert als

B_{ε} (x) := {p \in X | d (x, p) < ε}

Zu meinen Ideen:

Ich will also zeigen, dass

A_{2}

abgeschlossen ist, indem ich zeige, dass

ℝ \times ℝ \ A_{2}

offen ist.

Sei

p = (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \end{matrix}) \in ℝ \times ℝ

und sei

d (., .)

die von der L²-Norm induzierte Metrik.

Dann gilt für

ε = {| | (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{0} \end{matrix}) | |}_{2} = p_{2},

dass

B_{ε} (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \in ℝ \times ℝ | {| | (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) | |}_{2} < p_{2}}

Jetzt sollte eigentlich

B_{ε} (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \end{matrix}) \subset ℝ \times ℝ \ A_{2}

gelten.
Ich weiß aber nicht wie ich das zeigen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."