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Operatornorm einer linearen Abbildung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Numerik, Operatornorm, supremumsnorm

Tanja24 aktiv_icon

15:05 Uhr, 11.11.2020

Hallo,

Für

a > 0

sei die lineare Abbildung

A : C ([0, a]) \to C ([0, a])

f \mapsto (s \mapsto s (\int_{0}^{a} f (t) d t)

Wie bestimme ich nun

∣ ∣ A ∣ ∣

?

Ich freue mich über jede Hilfe :-)

Liebe Grüße
Tanja

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

15:21 Uhr, 11.11.2020

Es hilft hier deutlicher zu schreiben:

A : f \to A (f) = g

mit

g (s) = s \int_{0}^{a} f (t) d t

Man braucht also zuerst

∥ A (f) ∥

und dass ist

sup_{s \in [0, a]} ∣ g (s) ∣ = a ∣ \int_{0}^{a} f (t)

d t ∣

.
Weiter braucht man eine Abschätzung

∥ A (f) ∥ \leq C ∥ f ∥

mit dem optimalen

C

.
Dazu kann man nutzen:

∣ \int_{0}^{a} f (t) d t ∣ \leq \int_{0}^{a} ∣ f (t) ∣ d t \leq a sup_{t \in [0, a]} ∣ f (t)

∣ = a ∥ f ∥

.
Also haben

∥ A (f) ∥ = a ∣ \int_{0}^{a} f (t)

d t ∣ \leq a^{2} ∥ f ∥

und damit

∥ A (f) ∥ \leq C ∥ f ∥

mit

C = a^{2}

.
Jetzt kann man vermuten (so bisschen aus dem Bauch), dass dieses

C

schon optimal ist.
Um dies zu zeigen, braucht man jetzt eine

f

zu finden, so dass

∥ A f ∥ = a^{2} ∥ f ∥

gilt.
Das schaffst du schon auch selbst.

Am Ende kommt also

∥ A ∥ = a^{2}

raus.

Tanja24 aktiv_icon

15:36 Uhr, 11.11.2020

Oh vielen vielen Dank, das hilft uns sehr!

Wenn ich mir jetzt darüber Gedanken machen möchte ob diese Abbildung injektiv und oder surjektiv ist, wie mache ich das?

DrBoogie aktiv_icon

16:17 Uhr, 11.11.2020

A

injektiv und surjektiv ist?
Surjektiv nicht, denn

A f

ist immer eine lineare Funktion und nicht jede stetige Funktion ist linear.
Aber auch nicht injektiv, denn wenn

\int_{0}^{a} f (t) d t = \int_{0}^{a} f_{1} (t) d t

, dann

A (f) = A (f_{1})

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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