Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Operatornorm und Symmetrische Matrizen

Operatornorm und Symmetrische Matrizen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Grenzwerte

Integration

Stetigkeit

Lineare Abbildungen

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Integration, Linear Abbildung, Sonstig, Stetigkeit

Isaaabellll aktiv_icon

16:22 Uhr, 23.05.2018

Hallo,

bei folgender Aufgabe benötige ich bei jeder Teilaufgabe Hilfe.
Ich bedanke mich schon einmal im Voraus.

Sei

n \in N

. Wir betrachten im Folgenden den Raum der symmetrischen reelen

n \times n

-Matrizen

R^{n \times n} s y m

. als normiertern Vektorraum bezüglich der Operatornorm

| | A | | = S u p_{| x | \leq 1} | A x | = S u p_{x \in R^{n} {0}} \frac{| A x |}{| x |}

für alle

A \in R^{n \times n} s y m .,

wobei

| \cdot |

die euklidische Norm auf

R^{n}

bezeichne und die Abbildung

F : R^{n \times n} s y m

\to R^{n \times n} s y m

. mit

F (A) = A^{2}

a)

Zeigen Sie, dass

F

zweimal stetig differenzierbar ist und geben Sie die Differtiale erster und zweiter Ordnung an.

b)

Für welche

A_{0} \in R^{n \times n} s y m

. ist

D F (A_{0})

nicht invertierbar?

c)

Zeigen Sie, dass für geeignetes

ρ > 0

für jedes

A_{0} \in R^{n \times n} s y m

. mit

| | A_{0} - I | | < ρ

gilt, dass

D F (A_{0})

invertierbar ist, wobei I die Einheitsmatrix vom Rang

n

bezeichne

d)

Betrachte nun den FAll

n = 3

und die Matrix

1 / 0 / 0

0 / 2 / 1 = A_{0} \in R^{n \times n} s y m

0 / 1 / 2

Schreiben Sie die Bedingungen

D F (A_{0}) (B) = 0

für beliebiges

B \in R^{3 \times 3} s y m

. als lineares Gleichungssystem mit sechs Gleichungen. Zeigen Sie, dass

D F (A_{0})

invertierbar ist und formulieren Sie die Bedingungen

D F {(A_{0})}^{- 1} (B) = Z

für beliebige

B, Z \in R^{3 \times 3} s y m

. als lineares Gleichungssystem mit sechs Gleichungen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung