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Optimierung: Satz von Carathéodory

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Tags: Linear Abbildung, Sonstig

 
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MathStudent

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08:48 Uhr, 15.03.2019

Antworten
Zur konvexen Mengen in der Optimierung gibt es den folgenden Satz von Caratheodory:
Die konvexe Hülle einer Menge MRn ist die Menge aller Konvexkombinationen von (n + 1)-elementigen Teilmengen von M.
Ich verstehe nicht warum man möglicherweise n+1 Punkte braucht? Ich kann mir nur Beispiele vorstellen, wo man n Punkte braucht. Zum Beispiel im R2 braucht man 2 Punkte um die Konvexkombination für alle Punkte in der Menge abzubilden. In was für einem Fall würde man 3 Punkte brauchen?
Oder im R3 braucht man höchstens 3, meiner Meinung nach. Ich kann mir keinen Fall vorstellen, wo man 4 Punkte braucht. Kann jemand ein Beispiel für R2 oder R3 nennen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:47 Uhr, 15.03.2019

Antworten
> In was für einem Fall würde man 3 Punkte brauchen?

Ein ganz einfaches Beispiel:

Wir betrachten Menge M={(0,0),(0,1),(1,0)} in 2, dann ist die konvexe Hülle von M das abgeschlossene Dreieck mit den drei Eckpunkten in M.

Jetzt nenne mir doch mal zwei Punkte aus M, auf deren Verbindungsgerade der Punkt (13,13) liegt, dieser Punkt ist ja zweifelsohne in der konvexen Hülle...

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Die aus Konvexkombinationen von höchstens n Punkten bildbaren Punkte liegen in einem Unterraum der Dimension n-1. Ist M höchstens abzählbar, dann hat auch die Vereinigungsmenge all dieser durch Konvexkombinationen von höchstens n Punkten bildbaren Punkte das n-dimensionale Lebesgue-Maß 0, was offensichtlich nicht ausreicht, sofern die konvexe Hülle von M ein echt positives n-dimensionales Lebesgue-Maß aufweist, was aber der Normalfall sein dürfte, wenn M mindestens n+1 Punkte enthält.
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