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Optimierung: Satz von Carathéodory
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Lineare Abbildungen
Tags: Linear Abbildung, Sonstig
 
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Zur konvexen Mengen in der Optimierung gibt es den folgenden Satz von Caratheodory: Die konvexe Hülle einer Menge ist die Menge aller Konvexkombinationen von (n + 1)-elementigen Teilmengen von . Ich verstehe nicht warum man möglicherweise n+1 Punkte braucht? Ich kann mir nur Beispiele vorstellen, wo man n Punkte braucht. Zum Beispiel im braucht man 2 Punkte um die Konvexkombination für alle Punkte in der Menge abzubilden. In was für einem Fall würde man 3 Punkte brauchen? Oder im braucht man höchstens 3, meiner Meinung nach. Ich kann mir keinen Fall vorstellen, wo man 4 Punkte braucht. Kann jemand ein Beispiel für oder nennen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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> In was für einem Fall würde man 3 Punkte brauchen? Ein ganz einfaches Beispiel: Wir betrachten Menge in , dann ist die konvexe Hülle von das abgeschlossene Dreieck mit den drei Eckpunkten in . Jetzt nenne mir doch mal zwei Punkte aus , auf deren Verbindungsgerade der Punkt liegt, dieser Punkt ist ja zweifelsohne in der konvexen Hülle... -------------------------------------- Die aus Konvexkombinationen von höchstens Punkten bildbaren Punkte liegen in einem Unterraum der Dimension . Ist höchstens abzählbar, dann hat auch die Vereinigungsmenge all dieser durch Konvexkombinationen von höchstens Punkten bildbaren Punkte das -dimensionale Lebesgue-Maß 0, was offensichtlich nicht ausreicht, sofern die konvexe Hülle von ein echt positives -dimensionales Lebesgue-Maß aufweist, was aber der Normalfall sein dürfte, wenn mindestens Punkte enthält. |
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Vielen Dank für die ausführliche und hilfreiche Antwort. Sorry für die späte Rückmeldung |
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