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Optimierung der quadratischen Funktion

Schüler Maturitätsschule, 10. Klassenstufe

Tags: Funktion, NB, Optimierung, Quadratisch

JacquelineS aktiv_icon

15:35 Uhr, 07.02.2013

Hallo Community

Ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe:

Auf einer Strecke der Länge 10cm liegen ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck und ein Quadrat nebeneinander.

a .)

Stelle jeweils einen Term für den Flächeninhalt des Dreiecks und des Quadrats in Abhängigkeit von

x

auf.

Da ihr das Bild nicht sehen könnt, habe ich diese Teilaufgabe erfolgreich und richtig gelöst. Es wären:

Dreieck

= {(0.5 x)}^{2}

Quadrat

= {(10 - x)}^{2}

Nun die Schwierigkeit:

b .)

Berechne den Wert für

x,

für den die Summe der Flächeninhalte von Dreieck und Quadrat minimal ist und gib den minimalen Flächeninhalt an.

Da muss man mit Nebenbedingung, Zielfunktion usw. vorgehen.
Aber ich finde einfach keine Nebenbedingung.

Die Fläche der beiden wäre ja:

A = {(0.5 x)}^{2} + {(10 - x)}^{2}

= 2.25 x^{2} - 20 x + 100

Aber wie erschliesse ich dann eine Nebenbedingung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Rasaphar aktiv_icon

15:41 Uhr, 07.02.2013

Ich weiß leider nicht, was du mit "Nebenbedingung" meinst.

Aber ich kann mir gut vorstellen, dass man auf jeden Fall nur

x > 0

betrachten brauch. (Negative Längen sind eher unüblich ;-) )

Wenn du nun deine quadratische Gleichung hast, solltest du dir überlegen, wie du auf das Minimum kommst.
Das macht man über die 1. Ableitung. Da du eine nach oben geöffnete Parabel hast, ist ihr Scheitelpunkt der niedrigste Punkt.

Wie erhälst du den x-Wert des Scheitelpunktes?

Grüße
Rasa

Rasaphar aktiv_icon

15:48 Uhr, 07.02.2013

Noch eine Frage:

Mit welcher Seite liegt das Dreieck auf der Strecke? Mit der Hypotenuse oder mit einer der Katheten?

JacquelineS aktiv_icon

15:49 Uhr, 07.02.2013

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Indem ich die in die Scheitelpunktform umstelle, erhalte ich den gewünschten Wert

x

. (Da in diesem Fall der Scheitelpunkt die tiefste Stelle der Parabel ist und somit das Minimum.) Wir haben jedoch gelernt, dass es eine Nebenbedingung bräuchte, deshalb frage ich ja. Wie würdest Du vorgehen?

Normal gehen wir nach diesem Prinzip:

1 .)

Überlegen was minimiert wird: Gleichung aufstellen

2 .)

Nebenbedingung aufstellen

3 .)

NB aus

2 .)

in Gleichung aus

1 .)

einsetzen

4 .)

Erhaltene Gleichung in Scheitelpunktform umsetzen.

edit:

Mit der Hypotenuse

Rasaphar aktiv_icon

15:56 Uhr, 07.02.2013

Wenn das Dreieck mit einer der Katheten auf der Strecke liegt, stimmt deine Berechnung oben schonmal nicht.

Die Fläche würde wie folgt berechnet werden:

\frac{1}{2} x^{2}

Liegt das Dreieck mit der langen Seite (der Hypotenuse) auf der Strecke, wäre die Fläche:

\frac{x^{2}}{4} = {(\frac{1}{2} x)}^{2}

korrekt.

Und dann würde ich die quadratische Gleichung hernehmen, die 1. Ableitung davon bilden und diese

= 0

setzen.

Dann erhalte ich den

x

Wert, an dem die Parabel ihren Scheitelpunkt hat.

Grüße
Rasa

JacquelineS aktiv_icon

16:01 Uhr, 07.02.2013

{(0.5 x)}^{2}

entspricht ja

{(\frac{1}{2} x)}^{2}

also sind sowohl Deine als auch meine Annahmen richtig.

Kannst Du bitte mal einen Anfang machen, denn ich kann Dir leider nicht so ganz folgen.

Rasaphar aktiv_icon

16:07 Uhr, 07.02.2013

Ich weiß halt nicht, ob ihr "Ableitungen" schon hattet.

f (x) = {(0,5 x)}^{2} + {(10 - x)}^{2} = {0,5}^{2} x^{2} + 100 - 20 x + x^{2} = 1,25 x^{2} - 20 x + 100

1. Ableitung:

f' (x) = 2,5 x - 20

f' (x) = 0

setzen

0 = 2,5 x - 20

20 = 2,5 x \to x = 8

Wenn ich mich nicht vertan habe, kommt das dann raus.

Grüße
Rasa

JacquelineS aktiv_icon

16:14 Uhr, 07.02.2013

Kommt mir unbekannt vor.

Wir machen das normalerweise mit dem Prinzip der Umwandlung zur Scheitelpunktform durch die allg. Form der quadratischen Funktion.

Sprich

z . B

a^{2} + 22 a | + 11^{2} - 11^{2}

a^{2} + 22 a + 121 - 121

Und dann vereinfachern:

{(a + 11)}^{2} - 121

Dann Scheitelpunktform

S (11 | 121)

edit: ich glaube, wir hatten noch nie abweichungen behandelt.

JacquelineS aktiv_icon

16:48 Uhr, 07.02.2013

Wie soll man das nun lösen?

Was ist die Nebenbedingung?

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