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Optimierungsaufgabe (Kegel)

Schüler

Tags: Kegel, maximales Volumen, Optimierung

mary1004 aktiv_icon

20:30 Uhr, 12.06.2013

Hallo, ich stoße auf manche Schwierigkeiten bei diesem Übung:
" Aus einem kreisförmigen Blatt Papier mit Radius

R

soll ein Kegel so geformt werden, dass sein Volumen maximal wird. Wie müssen Sie

r

wählen?
Der Durchmesser ist

2 r

.

Soweit bin ich gekommen:

V = \frac{1}{3}

V =

1/3*π²

V' = 0

Vielen Dank für eure Hilfe, und wenn mir Sprachfehler unterlaufen, tut mir leid, ich lerne Deutsch als Fremdsprache! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Kegels

prodomo aktiv_icon

07:08 Uhr, 13.06.2013

Wenn das die originale Aufgabenstellung ist, dann ist sie entweder sehr schlecht formuliert oder einfach nur unsinnig. Aus einem Vollkreis lässt sich nämlich kein Kegel formen, dazu müsste der Kreis zerschnitten werden. Hier fehlt außerdem die Nebenbedingung.
Ich vermute, dass es darum geht, aus einem Kreissektor mit konstanter Fläche einen Kegel mit maximalem Volumen zu formen. Dann ist

A = π \cdot r \cdot s

und

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h,

wobei

h = \sqrt{s^{2} - r^{2}}

ist, also

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot \sqrt{{(\frac{A}{π \cdot r})}^{2} - r^{2}}

. Diese Funktion kann jetzt nach den bekannten Verfahren auf Extremwerte untersucht werden.

Bummerang

09:47 Uhr, 13.06.2013

Hallo,

"Ich vermute, dass es darum geht, aus einem Kreissektor mit konstanter Fläche einen Kegel mit maximalem Volumen zu formen."

Und ich denke, dass aus dem Kreis ein Kreissektor herausgeschnitten werden soll, den man zu einem Kegel formt und dessen Volumen soll maximal werden. Dann ist schon mal die Annahme, dass die Kreissektorfläche konstant ist, falsch.

Lösen sollte man diesen Ansatz über den Winkel

α

des Kreissektors. Die Länge des zum Kreissektor gehörenden Kreisbogens ergibt sich aus dem Dreisatz:

( Länge des Kreisbogens

) : (

Umfang des Kreises

) = (α) : (2 \cdot π)

( Länge des Kreisbogens

) : (2 \cdot π \cdot R) = (α) : (2 \cdot π)

( Länge des Kreisbogens

) : (R) = (α)

( Länge des Kreisbogens

) = α \cdot R

Das ist auch der Umfang der Grundfläche des Kreiskegels mit dem Radius

r

α \cdot R = 2 \cdot π \cdot r

r = \frac{α \cdot R}{2 \cdot π}

Die Grundfläche des Kegels ergibt sich also zu

A_{G} = π \cdot r^{2} = π \cdot {(\frac{α \cdot R}{2 \cdot π})}^{2} = π \cdot \frac{α^{2} \cdot R^{2}}{4 \cdot π^{2}} = \frac{α^{2} \cdot R^{2}}{4 \cdot π}

Die Kantenlänge

s

des Kreiskegels ist gleich dem Radius des gegebenen Kreises

R,

also:

s = R

Damit ergibt sich die Höhe des Kreiskegels als

h = \sqrt{s^{2} - r^{2}} = \sqrt{R^{2} - {(\frac{α \cdot R}{2 \cdot π})}^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{α^{2} \cdot R^{2}}{4 \cdot π^{2}}} = R \cdot \sqrt{1 - \frac{α^{2}}{4 \cdot π^{2}}} = \frac{R}{2 \cdot π} \cdot \sqrt{4 \cdot π^{2} - α^{2}}

Für das Volumen gilt die Formel:

V (α) = \frac{1}{3} \cdot \frac{α^{2} \cdot R^{2}}{4 \cdot π} \cdot \frac{R}{2 \cdot π} \cdot \sqrt{4 \cdot π^{2} - α^{2}}

V (α) = \frac{R^{3}}{24 \cdot π^{2}} \cdot α^{2} \cdot \sqrt{4 \cdot π^{2} - α^{2}}

V (α) = \frac{R^{3}}{24 \cdot π^{2}} \cdot \sqrt{4 \cdot π^{2} \cdot α^{2} - α^{4}}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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