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Optimierungsaufgabe/Maximalwertsberechnung

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Durchmesser, maxima, Optimierung

SubNatural aktiv_icon

15:44 Uhr, 27.02.2010

Hallo Community,
ich habe ihr eine Aufgabe bei der ich einfach nicht weiter komme.
Und zwar:
Aus einem zylindrischen stamm mit kreisförmigem Querschnitt und einem Durchmesser von

d =

30(cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt gesägt werden und zwar so, dass er eine möglichst hohe Tragfähigkeit hat.

Für die Tragfähigkeit

T

gilt dabei: T~Höhe² und T~Breite
Wie breit ist der Balken im Falle maximaler Tragfähigkeit?

Im Grund weiß ich (hoffe ich zumindest) wie das alles geht.

Und zwar bräuchte ich jetzt die Formel für die Tragfäigkeit, jene leite ich ab und bestimme mit der Notwendigen Bed.(V(xe)=

0)

ob es ein Hoch-/Tief- oder Wendepunkt gibt.
Danach bestimme ich mit der Hinreichenden Bedingung (VorZeichenWechsel) um was es ich handelt.
DAnn noch die Randwerte(unser Lehrer will das) und fertig.

Ich komme bloß nicht aus die Formel für das Volumen.

Kann mir da jemand nen Denkanstoß geben?

MfG Daniel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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f' (x)

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Wie löst man Steckbriefaufgaben?

johannes2010 aktiv_icon

17:11 Uhr, 27.02.2010

Pythagoras:

d^{2} = y^{2} + x^{2} \Rightarrow y^{2} = d^{2} - x^{2}

Tragfähigkeit:

T = k \cdot y^{2} \cdot x = k (d^{2} - x^{2}) x

maximaler Tragfähigkeit!

\frac{d}{d x} T = k (d^{2} - 3 x^{2}) = 0 x = \frac{d}{\sqrt{3}}

Die Aufgabe hat meiner Meinung nach nix mit dem Volumen zu tun.
Die Konstante

k

braucht man, da es ja nur proportional ist (s. Technische Mechanik)

Shipwater aktiv_icon

17:52 Uhr, 27.02.2010

Wir haben die Aufgabe in der Schule auch mal gerechnet gehabt und damals aufgeschrieben:

Da die Tragfähigkeit des Balkens proportional zur Breite

b

und dem Quadrat der Höhe

h

ist, erreicht der Balken dann die größte Tragfähigkeit, wenn das Produkt

b \cdot h^{2}

am größten wird.

Und wir haben damals noch eine Zimmermannsregel gehabt mit welcher man ohne das Extremwertverfahren an die Werte für die größte Tragfähigkeit kommt.

Zimmermannsregel:

Zeichne auf eine kreisförmige Querschnittsfläche des Baumstammes einen Durchmesser, teile diesen in drei gleiche Teile, ziehe in jedem Teilpunkt die Senkrechte zum Durchmesser, so ergibt sich der gesuchte Balkenquerschnitt. (siehe Bild)

Nach dem Höhensatz gilt für die Höhe des Dreiecks

A B C :

h^{2} = p q = a \cdot 2 a = 2 a^{2}

und somit

h = \sqrt{2} \cdot a

Wendet man nun im Dreieck

B C D

den Satz des Pythagoras an so erhält man:

b = \sqrt{a^{2} + {(\sqrt{2} \cdot a)}^{2}} = \sqrt{3 a^{2}} = \sqrt{3} \cdot a

Und wendet man den Pythagoras im Dreieck

A C D

an so erhält man:

h = \sqrt{{(2 a)}^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2}} = \sqrt{6 a^{2}} = \sqrt{6} \cdot a

Und da

d = 3 a \Leftrightarrow a = \frac{1}{3} d

ist somit:

b = \frac{\sqrt{3}}{3} d

und

h = \frac{\sqrt{6}}{3} d

So hab das mal gepostet, falls es jemanden interessiert.

Gruß Shipwater

johannes2010 aktiv_icon

18:05 Uhr, 27.02.2010

Es sei angemerkt, dass die Lsg. von shipwater das gleiche Ergebnis liefert:

b = \frac{\sqrt{3}}{3} d = \frac{d}{\sqrt{3}}

Finde ich aber unnötig kompliziert, da es egal ist, welche Lage das Rechteck im Kreis hat.

Shipwater aktiv_icon

18:10 Uhr, 27.02.2010

Ja die Ergebnisse sind identisch, nur heißt es ja immer Nenner rational machen blabla weswegen ich es einfach auf diese Weise geschrieben habe.
Und mit meinem Beitrag wollte ich deinen nicht kritisieren, sondern nur zeigen wie man das ohne Extremwertverfahren lösen kann.

Gruß Shipwater

johannes2010 aktiv_icon

18:12 Uhr, 27.02.2010

Hab ich auch nicht so aufgefasst. Für manche ist es aber nicht ersichtlich, dass es das gleiche ist. Nicht, dass dann 1000mal kommt: Was stimmt jetzt?

Shipwater aktiv_icon

18:16 Uhr, 27.02.2010

Ok, gut. Aber ich verstehe auch nicht richtig was du hiermit meinst:
"Finde ich aber unnötig kompliziert, da es egal ist, welche Lage das Rechteck im Kreis hat."
Man kann den Kreis ja drehen, so dass das Rechteck jede mögliche Lage annehmen kann. Nur hielt ich die mit dem waagrechten Durchmesser eben als sinnvollste zur Erklärung.

Gruß Shipwater

johannes2010 aktiv_icon

18:18 Uhr, 27.02.2010

Ja. Hast dafür aber 2 Dreiecke

Shipwater aktiv_icon

18:23 Uhr, 27.02.2010

Entschuldige, aber das habe ich nun auch nicht verstanden(Was stört an den zwei Dreiecken). Schein wohl gerade ein Blackout zu haben.

johannes2010 aktiv_icon

18:25 Uhr, 27.02.2010

Ja. Passt schon. Ich finde den Weg ja auch interessant, da ich nicht wußte, dass es eine solche Regel gibt.

Shipwater aktiv_icon

18:29 Uhr, 27.02.2010

Ok. Aber bei einer Mathearbeit sollte man besser deinen beschriebenen Weg über das Extremwertverfahren nehmen, auch wenn ich es interessant fände, wie so manche Lehrer die Antwort über die Zimmermannsregel bepunkten würden.

SubNatural aktiv_icon

17:53 Uhr, 28.02.2010

Danke an euch.

Ich habe es so gelöst:

T = y² * x | Zielfunktion

Um aber eine Unbekannte zu "löschen" braucht man eine Nebenbedingung.

Meine Nebenbed.: $d = \sqrt{x² + y²}$

$d² = x² + y² = 900$

$y² = 900 - x ²$ | In Zielfkt. einfügen

$T (x) = (900 - x) * x = - x³ + 900 x; x \in [0; 30]$

Jetzt habe ich das Maximum in meinen GTR:

Max liegt bei x = 17,32cm - y ist ca. 24,5 cm

Wie komme ich auf y?

Ganz einfach x² » 300

900 - 300 = 600

Die Wurzel aus 600 ist ungefähr 24,5

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